数学3 体積 問題 116 解説

方針・初手

まず $f(x)=\dfrac{e^x-1}{x}$ を微分し，$f'(x)$ の符号を調べる。

（1） では，分子を別の関数として置いて増減を見ると，$f'(x)>0$ が素直に示せる。

（2） では，（1） により $f(x)$ が単調増加であることを使う。すると

$$ f(2)=\frac{e^2-1}{2},\qquad f(3)=\frac{e^3-1}{3} $$

であるから，指定された2直線はそれぞれ曲線 $y=f(x)$ と $x=2,3$ の位置で交わる。回転体の体積は $y$ で積分するよりも，$y=f(x)$ を用いて $x$ で置換して計算するのがよい。

解法1

（1） $x>0$ のとき $f'(x)>0$ を示す

$$ f(x)=\frac{e^x-1}{x} $$

より，商の微分法を用いると

$$ f'(x)=\frac{xe^x-(e^x-1)}{x^2} =\frac{(x-1)e^x+1}{x^2} $$

となる。

ここで

$$ g(x)=(x-1)e^x+1 $$

とおくと，

$$ g'(x)=xe^x $$

である。$x>0$ では $e^x>0$ であるから

$$ g'(x)=xe^x>0 $$

となり，$g(x)$ は $x>0$ で増加する。

さらに

$$ g(0)=(-1)e^0+1=0 $$

であるから，$x>0$ では

$$ g(x)>g(0)=0 $$

が成り立つ。

したがって，$x>0$ では分母 $x^2>0$ でもあるので，

$$ f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}>0 $$

となる。よって，$x>0$ のとき $f'(x)>0$ である。

（2） 回転体の体積を求める

（1） より，$f(x)$ は $x>0$ で単調増加する。

また

$$ f(2)=\frac{e^2-1}{2},\qquad f(3)=\frac{e^3-1}{3} $$

であるから，直線

$$ y=\frac{e^2-1}{2},\qquad y=\frac{e^3-1}{3} $$

はそれぞれ曲線 $y=f(x)$ と $x=2,3$ に対応する。

したがって，求める部分は，$y$ の値が $f(2)$ から $f(3)$ まで動くとき，$x=0$ から $x=f^{-1}(y)$ までの部分である。これを $y$ 軸のまわりに回転すると，半径 $f^{-1}(y)$ の円板ができるので，体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_{f(2)}^{f(3)} \left(f^{-1}(y)\right)^2,dy $$

である。

ここで $y=f(x)$ とおくと

$$ dy=f'(x),dx $$

であり，$y=f(2)$ のとき $x=2$，$y=f(3)$ のとき $x=3$ だから，

$$ V=\pi\int_2^3 x^2 f'(x),dx $$

となる。

先ほど求めた

$$ f'(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2} $$

を代入すると，

$$ x^2f'(x)=(x-1)e^x+1 $$

ゆえに

$$ V=\pi\int_2^3 \left((x-1)e^x+1\right),dx $$

を得る。

ここで

$$ \frac{d}{dx}\left((x-2)e^x\right)=(x-1)e^x $$

であるから，

$$ V=\pi\left[(x-2)e^x+x\right]_2^3 $$

となる。よって，

$$ V=\pi\left\{(3-2)e^3+3-\left((2-2)e^2+2\right)\right\} =\pi(e^3+1) $$

である。

解説

この問題の要点は，まず $f'(x)$ の分子

$$ (x-1)e^x+1 $$

の符号判定を，さらにその導関数 $xe^x$ の符号に落とすことである。直接不等式処理をするより見通しがよい。

体積については，回転軸が $y$ 軸であり，領域が $y$ 軸と曲線にはさまれているので，円板法で

$$ V=\pi\int x^2,dy $$

と考えるのが自然である。ただし $x$ を $y$ の関数として明示しにくいので，$y=f(x)$ による置換

$$ dy=f'(x),dx $$

を使うと計算が簡潔になる。

答え

(1)

$$ f'(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}>0\qquad (x>0) $$

(2)

回転体の体積は

$$ \pi(e^3+1) $$

である。