数学3 体積 問題 117 解説

方針・初手

回転中の円板上の点をパラメータで表し、$y$ を固定した断面で考える。回転は $y$ 軸のまわりなので、$y$ 座標は変わらない。したがって、各 $y$ における $xz$ 平面内の面積を求め、それを $y$ について積分すればよい。

解法1

回転前の円板 $D_1$ 上の点を

$$ (u,v,a) \quad (u^2+v^2\leqq 1) $$

とおく。$y$ 軸のまわりに角 $\theta$ だけ回転すると、回転の向きより

$$ (x,y,z)=(a\sin\theta+u\cos\theta,\ v,\ a\cos\theta-u\sin\theta) $$

となる。ただし $0\leqq \theta\leqq \pi$ である。

ここで $y=v$ を固定する。すると

$$ u^2\leqq 1-y^2 $$

であるから、

$$ s=\sqrt{1-y^2} $$

とおけば、$-s\leqq u\leqq s$ である。

このとき、$xz$ 平面内では

$$ (x,z)=(a\sin\theta+u\cos\theta,\ a\cos\theta-u\sin\theta) $$

である。

$xz$ 平面で、正の $z$ 軸から正の $x$ 軸側へ測った角を $\beta$ とし、

$$ x=r\sin\beta,\qquad z=r\cos\beta $$

とおく。また

$$ u=a\tan\delta $$

とおくと、

$$ r=\sqrt{a^2+u^2}=a\sec\delta $$

であり、

$$ \beta=\theta+\delta $$

となる。

ここで $-s\leqq u\leqq s$ より、

$$ -\alpha\leqq \delta\leqq \alpha,\qquad \alpha=\arctan\frac{s}{a} $$

である。

固定した $|\delta|=\eta$ について考える。$u=a\tan\eta$ のとき、角 $\beta$ は

$$ \eta\leqq \beta\leqq \pi+\eta $$

を動く。一方、$u=-a\tan\eta$ のとき、角 $\beta$ は

$$ -\eta\leqq \beta\leqq \pi-\eta $$

を動く。

したがって、同じ半径

$$ r=a\sec\eta $$

上で、$E$ が占める角度の範囲は

$$ -\eta\leqq \beta\leqq \pi+\eta $$

である。

いま $x\geqq 0$ は

$$ 0\leqq \beta\leqq \pi $$

に対応する。したがって、$E$ と $x\geqq 0$ の共通部分に限れば、各半径において角度の長さは常に $\pi$ である。

よって、固定した $y$ における断面積を $A_y$ とすると、

$$ A_y=\int_a^{\sqrt{a^2+s^2}}\pi r,dr $$

である。これを計算すると、

$$ A_y=\frac{\pi}{2}\left\{(a^2+s^2)-a^2\right\} =\frac{\pi}{2}s^2 $$

である。$s^2=1-y^2$ より、

$$ A_y=\frac{\pi}{2}(1-y^2) $$

となる。

したがって、

$$ W(a)=\int_{-1}^{1}\frac{\pi}{2}(1-y^2),dy $$

であるから、

$$ \begin{aligned} W(a) &=\frac{\pi}{2}\left[y-\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{1} \\ &=\frac{\pi}{2}\left(\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)\right) \\ &=\frac{2\pi}{3} \end{aligned} $$

となる。

次に $V(a)$ の極限を求める。

固定した $y$ において、$E$ 全体が占める角度の長さは、上で見たように

$$ \pi+2\eta $$

である。ただし

$$ r=a\sec\eta,\qquad 0\leqq \eta\leqq \alpha $$

である。

$u=a\tan\eta$ とすると、$r^2=a^2+u^2$ だから

$$ r,dr=u,du $$

である。よって、固定した $y$ における $E$ の断面積は

$$ \int_0^s \left(\pi+2\arctan\frac{u}{a}\right)u,du $$

である。

したがって、

$$ V(a)=\int_{-1}^{1}\int_0^{\sqrt{1-y^2}} \left(\pi+2\arctan\frac{u}{a}\right)u,du,dy $$

となる。これを

$$ V(a)=W(a)+2\int_{-1}^{1}\int_0^{\sqrt{1-y^2}} u\arctan\frac{u}{a},du,dy $$

と分ける。

ここで $u\geqq 0$ について

$$ 0\leqq \arctan\frac{u}{a}\leqq \frac{u}{a} $$

であるから、

$$ 0\leqq 2\int_{-1}^{1}\int_0^{\sqrt{1-y^2}} u\arctan\frac{u}{a},du,dy \leqq \frac{2}{a}\int_{-1}^{1}\int_0^{\sqrt{1-y^2}}u^2,du,dy $$

である。右辺は

$$ \frac{2}{3a}\int_{-1}^{1}(1-y^2)^{3/2},dy $$

であり、$a\to\infty$ のとき $0$ に近づく。

したがって、

$$ \lim_{a\to\infty}V(a)=W(a)=\frac{2\pi}{3} $$

である。

解説

この問題では、円板全体の動きを直接三次元で追うよりも、$y$ を固定した断面で見るのが自然である。回転軸が $y$ 軸なので、$y$ 座標は保存されるためである。

固定した $y$ に対して、$xz$ 平面内では、円板の切り口が円 $x^2+z^2=a^2$ の接線方向の線分として動く。極座標で見ると、$x\geqq 0$ の部分では角度の長さが常に $\pi$ になるため、$W(a)$ は $a$ に依存しない。

一方、$E$ 全体では、$x<0$ 側にはみ出す分がある。その余分な角度は $2\arctan(u/a)$ であり、$a\to\infty$ では $0$ に近づく。したがって、極限では $V(a)$ も $W(a)$ に一致する。

答え

(1)

$$ W(a)=\frac{2\pi}{3} $$

(2)

$$ \lim_{a\to\infty}V(a)=\frac{2\pi}{3} $$