数学3 体積 問題 120 解説

方針・初手

円 $C$ の方程式は

$$ (x-a)^2+y^2=1 $$

である。

したがって、$y$ を固定したときの円の右側の境界は

$$ x=a+\sqrt{1-y^2} $$

と表される。$y$ 軸のまわりの回転体なので、$y$ について積分し、各断面を円板または円環として扱うのが自然である。

解法1

(1)

求める図形は、$-1\le y\le 1$ において

$$ 0\le x\le a+\sqrt{1-y^2} $$

で表される。

これを $y$ 軸のまわりに回転すると、$y$ を一定にした断面は半径

$$ a+\sqrt{1-y^2} $$

の円板になる。よって体積 $V_1$ は

$$ V_1=\pi\int_{-1}^{1}\left(a+\sqrt{1-y^2}\right)^2,dy $$

である。

これを展開すると

$$ \left(a+\sqrt{1-y^2}\right)^2 =a^2+2a\sqrt{1-y^2}+1-y^2 $$

だから、

$$ V_1 =\pi\int_{-1}^{1}\left(a^2+2a\sqrt{1-y^2}+1-y^2\right),dy $$

となる。

ここで

$$ \int_{-1}^{1}a^2,dy=2a^2, \qquad \int_{-1}^{1}\sqrt{1-y^2},dy=\frac{\pi}{2}, \qquad \int_{-1}^{1}(1-y^2),dy=\frac{4}{3} $$

であるから、

$$ V_1 =\pi\left(2a^2+2a\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{4}{3}\right) =\pi\left(2a^2+a\pi+\frac{4}{3}\right) $$

となる。

したがって、

$$ V_1=\pi\left(2a^2+a\pi+\frac{4}{3}\right) $$

である。

(2)

円 $C$ 全体は、$-1\le y\le 1$ において

$$ a-\sqrt{1-y^2}\le x\le a+\sqrt{1-y^2} $$

で表される。$a>1$ なので

$$ a-\sqrt{1-y^2}>0 $$

が成り立ち、回転後の断面は円環になる。

したがって、体積 $V_2$ は

$$ V_2 =\pi\int_{-1}^{1} \left\{ \left(a+\sqrt{1-y^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{1-y^2}\right)^2 \right\},dy $$

である。

平方差を計算すると

$$ \left(a+\sqrt{1-y^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{1-y^2}\right)^2 =4a\sqrt{1-y^2} $$

だから、

$$ V_2 =\pi\int_{-1}^{1}4a\sqrt{1-y^2},dy =4a\pi\int_{-1}^{1}\sqrt{1-y^2},dy $$

となる。よって

$$ V_2=4a\pi\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi^2a $$

である。

ここで条件 $V_1=2V_2$ を用いると、

$$ \pi\left(2a^2+a\pi+\frac{4}{3}\right)=2\cdot 2\pi^2a $$

すなわち

$$ 2a^2+a\pi+\frac{4}{3}=4\pi a $$

である。整理して

$$ 2a^2-3\pi a+\frac{4}{3}=0 $$

さらに $3$ 倍して

$$ 6a^2-9\pi a+4=0 $$

となるので、解の公式より

$$ a=\frac{9\pi\pm\sqrt{81\pi^2-96}}{12} $$

を得る。

ただし条件は $a>1$ である。 $\dfrac{9\pi-\sqrt{81\pi^2-96}}{12}<1$ なので不適であり、求める値は

$$ a=\frac{9\pi+\sqrt{81\pi^2-96}}{12} $$

である。

解説

この問題では、$y$ 軸まわりの回転体なので、$y$ を固定した断面を考えるのが最も素直である。

（1） では断面が円板、（2） では断面が円環になる。この違いを正確に捉えることが重要である。特に （2） では、内半径が $a-\sqrt{1-y^2}$ になること、そして $a>1$ によりそれが常に正であることを確認しておく必要がある。

また、

$$ \int_{-1}^{1}\sqrt{1-y^2},dy=\frac{\pi}{2} $$

は、半径 $1$ の半円の面積としてすぐに用いると計算が速い。

答え

$$ \text{（1） }; V_1=\pi\left(2a^2+a\pi+\frac{4}{3}\right) $$

$$ \text{（2） }; a=\frac{9\pi+\sqrt{81\pi^2-96}}{12} $$