数学3 体積 問題 122 解説

方針・初手

三角形の辺をベクトルや媒介変数で表し，平面 $x=h$ との交点を求める。

そのうえで，平面 $x=h$ における三角形の断面は線分 $PQ$ になるので，（3） は点 $(h,0,0)$ からその線分までの最短距離を考える。さらに （4） では，この断面を $x$ 軸の周りに回転したときの断面積を積分すれば体積が求まる。

解法1

(1)

$\angle BAC$ はベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ のなす角である。

$$ \overrightarrow{AB}=(-2,2,-2),\qquad \overrightarrow{AC}=(-2,-4,-2) $$

内積を計算すると，

$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} =(-2)(-2)+2(-4)+(-2)(-2) =4-8+4 =0 $$

よって $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は直交するから，

$$ \angle BAC=\frac{\pi}{2} $$

である。

(2)

線分 $AB$ を

$$ ( x,y,z )=(2,1,2)+t{(-2,2,-2)}\qquad (0\leqq t\leqq 1) $$

と表す。すなわち

$$ ( x,y,z )=(2-2t,\ 1+2t,\ 2-2t) $$

である。これが平面 $x=h$ と交わるとき，

$$ 2-2t=h $$

より

$$ t=1-\frac{h}{2} $$

したがって

$$ P=(h,\ 3-h,\ h) $$

である。

同様に，線分 $AC$ は

$$ ( x,y,z )=(2,1,2)+t{(-2,-4,-2)}\qquad (0\leqq t\leqq 1) $$

すなわち

$$ ( x,y,z )=(2-2t,\ 1-4t,\ 2-2t) $$

と表せる。これが平面 $x=h$ と交わるときも

$$ t=1-\frac{h}{2} $$

であるから，

$$ Q=(h,\ 2h-3,\ h) $$

となる。

(3)

平面 $x=h$ 上で見ると，線分 $PQ$ 上の点は

$$ (h,\ y,\ h)\qquad (2h-3\leqq y\leqq 3-h) $$

と表せる。

点 $(h,0,0)$ からこの点までの距離の二乗は

$$ {(h-h)}^2+(y-0)^2+(h-0)^2=y^2+h^2 $$

である。したがって，距離の最小値は $|y|$ が最小になるときに得られる。

ここで区間 $[,2h-3,\ 3-h,]$ を考える。

$$ 2h-3\leqq 0 \iff h\leqq \frac{3}{2} $$

であるから，場合分けすると次のようになる。

(i)

$0\leqq h\leqq \dfrac{3}{2}$ のとき

このとき $0\in [,2h-3,\ 3-h,]$ であるから，$y=0$ がとれる。よって最短距離は

$$ \sqrt{0^2+h^2}=h $$

である。

(ii)

$\dfrac{3}{2}\leqq h\leqq 2$ のとき

このとき区間 $[,2h-3,\ 3-h,]$ はすべて非負であるから，$|y|$ が最小になるのは $y=2h-3$ のときである。したがって最短距離は

$$ \sqrt{(2h-3)^2+h^2} =\sqrt{5h^2-12h+9} $$

である。

以上より，求める距離 $d(h)$ は

$$ d(h)= \begin{cases} h & \left(0\leqq h\leqq \dfrac{3}{2}\right)\\ \sqrt{5h^2-12h+9} & \left(\dfrac{3}{2}\leqq h\leqq 2\right) \end{cases} $$

である。

(4)

三角形 $ABC$ を $x$ 軸の周りに回転するとき，平面 $x=h$ による断面は，線分 $PQ$ を $x$ 軸の周りに回転してできる円環になる。

まず，外側の半径は点 $P$ の $x$ 軸からの距離である。点 $P=(h,3-h,h)$ より，

$$ R(h)^2=(3-h)^2+h^2=2h^2-6h+9 $$

一方，内側の半径は （3） で求めた最短距離 $d(h)$ である。

したがって断面積 $S(h)$ は

$$ S(h)=\pi{R(h)^2-d(h)^2} $$

となる。

(i)

$0\leqq h\leqq \dfrac{3}{2}$ のとき

$$ S(h)=\pi{(2h^2-6h+9)-h^2} =\pi(h^2-6h+9) $$

(ii)

$\dfrac{3}{2}\leqq h\leqq 2$ のとき

$$ S(h)=\pi{(2h^2-6h+9)-(5h^2-12h+9)} =\pi(-3h^2+6h) $$

よって体積 $V$ は

$$ V=\int_0^{3/2}\pi(h^2-6h+9),dh+\int_{3/2}^2\pi(-3h^2+6h),dh $$

である。

それぞれ計算すると，

$$ \begin{aligned} \int_0^{3/2}(h^2-6h+9),dh &= \left[\frac{h^3}{3}-3h^2+9h\right]_0^{3/2} \\ \frac{63}{8} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{3/2}^2(-3h^2+6h),dh &= \left[-h^3+3h^2\right]_{3/2}^2 \\ \frac{5}{8} \end{aligned} $$

したがって

$$ V=\pi\left(\frac{63}{8}+\frac{5}{8}\right) =\pi\cdot \frac{68}{8} =\frac{17\pi}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は，三角形全体を直接回転させて考えるのではなく，まず平面 $x=h$ による断面を調べることである。

断面は常に線分 $PQ$ であり，その線分の $x$ 軸からの最短距離と最長距離が分かれば，回転後の断面積が円環の面積として処理できる。特に （3） で，区間 $[,2h-3,\ 3-h,]$ の中に $0$ が含まれるかどうかで場合分けが必要になる点が重要である。

答え

(1)

$$ \angle BAC=\frac{\pi}{2} $$

(2)

$$ P=(h,\ 3-h,\ h),\qquad Q=(h,\ 2h-3,\ h) $$

(3)

$$ d(h)= \begin{cases} h & \left(0\leqq h\leqq \dfrac{3}{2}\right)\\ \sqrt{5h^2-12h+9} & \left(\dfrac{3}{2}\leqq h\leqq 2\right) \end{cases} $$

(4)

$$ \frac{17\pi}{2} $$