数学3 体積 問題 123 解説

方針・初手

まず

$$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x),dx $$

を調べる。ここで $f(x)=x+a\sin x,\ g(x)=b\cos x$ であるから，被積分関数の偶奇性を見れば計算が大きく簡単になる。

その結果を用いると，

$$ \int_{-\pi}^{\pi} {f(x)+g(x)}^2,dx-\int_{-\pi}^{\pi} {f(x)}^2,dx $$

は $\int g(x)^2,dx$ に帰着する。

さらに回転体の体積は

$$ V=\pi\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)+g(x)|^2,dx $$

で与えられ，$|f+g|^2=(f+g)^2$ を使えば，（2） の結果と $\int f(x)^2,dx$ の具体計算から下限が得られる。

解法1

（1） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x),dx$ を求める

$$ f(x)g(x)=(x+a\sin x)(b\cos x)=bx\cos x+ab\sin x\cos x $$

である。

ここで $x\cos x$ は，$x$ が奇関数，$\cos x$ が偶関数なので奇関数である。また $\sin x\cos x$ も奇関数である。

したがって，対称区間 $[-\pi,\pi]$ での積分はどちらも $0$ となるから，

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x),dx &= b\int_{-\pi}^{\pi} x\cos x,dx + ab\int_{-\pi}^{\pi} \sin x\cos x,dx =0 \end{aligned} $$

である。

（2） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} {f(x)+g(x)}^2,dx \ge \int_{-\pi}^{\pi} {f(x)}^2,dx$ を示す

左辺から右辺を引くと，

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} {f(x)+g(x)}^2,dx-\int_{-\pi}^{\pi} {f(x)}^2,dx &= \int_{-\pi}^{\pi} {2f(x)g(x)+g(x)^2},dx \end{aligned} $$

となる。

（1） より

$$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x),dx=0 $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} {f(x)+g(x)}^2,dx-\int_{-\pi}^{\pi} {f(x)}^2,dx &= \int_{-\pi}^{\pi} g(x)^2,dx \end{aligned} $$

である。

さらに $g(x)=b\cos x$ より，

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} g(x)^2,dx &= b^2\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x,dx =b^2\pi \ge 0 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \int_{-\pi}^{\pi} {f(x)+g(x)}^2,dx \ge \int_{-\pi}^{\pi} {f(x)}^2,dx $$

が成り立つ。

なお，等号成立は $b=0$ のときに限る。

（3） 体積 $V$ の下限と等号成立条件

曲線 $y=|f(x)+g(x)|$，直線 $x=-\pi,\ x=\pi$，および $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転すると，断面積は

$$ \pi |f(x)+g(x)|^2 $$

である。したがって体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)+g(x)|^2,dx =\pi\int_{-\pi}^{\pi} {f(x)+g(x)}^2,dx $$

となる。

ここで （2） より

$$ V\ge \pi\int_{-\pi}^{\pi} {f(x)}^2,dx $$

であるから，$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2,dx$ を計算する。

$$ f(x)^2=(x+a\sin x)^2=x^2+2ax\sin x+a^2\sin^2 x $$

なので，

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2,dx &= \int_{-\pi}^{\pi} x^2,dx + 2a\int_{-\pi}^{\pi} x\sin x,dx + a^2\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x,dx \end{aligned} $$

である。

順に計算すると，

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} x^2,dx &= 2\int_0^{\pi} x^2,dx \\ \frac{2\pi^3}{3} \end{aligned} $$

また，$x\sin x$ は偶関数であるから，

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} x\sin x,dx &= 2\int_0^{\pi} x\sin x,dx \end{aligned} $$

であり，部分積分を用いて

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi} x\sin x,dx &= \left[-x\cos x+\sin x\right]_0^{\pi} =\pi \end{aligned} $$

となるので，

$$ \int_{-\pi}^{\pi} x\sin x,dx=2\pi $$

である。さらに，

$$ \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x,dx=\pi $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2,dx &= \frac{2\pi^3}{3}+4a\pi+a^2\pi \\ \pi\left(a^2+4a+\frac{2\pi^2}{3}\right) \end{aligned} $$

となる。ここで平方完成すると，

$$ \begin{aligned} a^2+4a+\frac{2\pi^2}{3} &= (a+2)^2+\frac{2}{3}(\pi^2-6) \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2,dx &= \pi\left\{(a+2)^2+\frac{2}{3}(\pi^2-6)\right\} \end{aligned} $$

よって

$$ V \ge \pi^2\left\{(a+2)^2+\frac{2}{3}(\pi^2-6)\right\} \ge \frac{2}{3}\pi^2(\pi^2-6) $$

となり，示すべき不等式

$$ V\ge \frac{2}{3}\pi^2(\pi^2-6) $$

が成り立つ。

等号が成り立つためには，上の二段階の不等式がともに等号でなければならない。

(i)

$$ V=\pi\int_{-\pi}^{\pi} {f(x)+g(x)}^2,dx \ge \pi\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2,dx $$

で等号成立

$\iff \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} g(x)^2,dx=0$

$\iff b=0$

である。

(ii)

$$ (a+2)^2+\frac{2}{3}(\pi^2-6)\ge \frac{2}{3}(\pi^2-6) $$

で等号成立

$\iff (a+2)^2=0$

$\iff a=-2$

である。

したがって，等号成立条件は

$$ a=-2,\quad b=0 $$

である。

解説

この問題の核は，$f(x)g(x)$ の積分が偶奇性によって $0$ になる点である。ここが見えれば （2） は $\int g^2$ の非負性に落ちる。

（3） では $|f+g|$ を回転させるので，一見絶対値が厄介に見えるが，体積では二乗されるため $|f+g|^2=(f+g)^2$ となり扱いやすくなる。そのうえで （2） をそのまま使い，最後は $\int f^2$ を平方完成するだけで下限と等号条件まで一気に決まる。

答え

(1)

$$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x),dx=0 $$

(2)

$$ \int_{-\pi}^{\pi} {f(x)+g(x)}^2,dx \ge \int_{-\pi}^{\pi} {f(x)}^2,dx $$

(3)

$$ V\ge \frac{2}{3}\pi^2(\pi^2-6) $$

等号成立は

$$ a=-2,\quad b=0 $$

のときである。