数学3 定積分・面積 問題 1 解説

方針・初手

定積分 $\int_{0}^{1} f(t)dt$ は $x$ に依存しない定数となるため、これを文字でおくことで $f(x)$ の関数形を決定するのが第一歩である。関数形が求まった後は、導関数 $f'(x)$ を用いて区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における増減を調べ、最小値が $0$ 以上となる条件を立式する。

解法1

$\int_{0}^{1} f(t)dt$ は定数であるから、これを $k$ とおく。

$$k = \int_{0}^{1} f(t)dt$$

これを与式に代入すると、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = x - e^x + ak$$

この $f(x)$ を $k$ の定義式に代入し、$k$ について解く。

$$\begin{aligned} k &= \int_{0}^{1} (t - e^t + ak)dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^2 - e^t + akt \right]_{0}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{2} - e + ak \right) - (0 - 1 + 0) \\ &= \frac{3}{2} - e + ak \end{aligned}$$

これを整理すると、次のようになる。

$$(1 - a)k = \frac{3}{2} - e$$

問題の条件より $a \neq 1$ であるから、両辺を $1 - a$ で割ることができる。

$$k = \frac{\frac{3}{2} - e}{1 - a} = \frac{3 - 2e}{2(1 - a)}$$

したがって、$f(x)$ は次のように定まる。

$$f(x) = x - e^x + \frac{a(3 - 2e)}{2(1 - a)}$$

次に、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における $f(x)$ の増減を調べるために導関数を求める。

$$f'(x) = 1 - e^x$$

$0 \leqq x \leqq 1$ において、$e^x \geqq 1$ であるから、常に $f'(x) \leqq 0$ となる。 したがって、$f(x)$ は区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において単調に減少する。

ゆえに、この区間で常に $f(x) \geqq 0$ となるための条件は、区間における最小値が $0$ 以上となること、すなわち $f(1) \geqq 0$ である。

$$f(1) = 1 - e + \frac{a(3 - 2e)}{2(1 - a)} \geqq 0$$

この不等式を解くために、分母 $1 - a$ の符号で場合分けを行う。

(i) $a < 1$ のとき

$1 - a > 0$ であるから、両辺に正の値 $2(1 - a)$ をかけても不等号の向きは変わらない。

$$2(1 - a)(1 - e) + a(3 - 2e) \geqq 0$$

展開して整理する。

$$\begin{aligned} 2(1 - e - a + ae) + 3a - 2ae &\geqq 0 \\ 2 - 2e - 2a + 2ae + 3a - 2ae &\geqq 0 \\ a + 2 - 2e &\geqq 0 \\ a &\geqq 2e - 2 \end{aligned}$$

ここで、$e \approx 2.71$ より $2e - 2 > 1$ であるから、$a \geqq 2e - 2$ と $a < 1$ を同時に満たす実数 $a$ は存在しない。

(ii) $a > 1$ のとき

$1 - a < 0$ であるから、両辺に負の値 $2(1 - a)$ をかけると不等号の向きが逆転する。

$$2(1 - a)(1 - e) + a(3 - 2e) \leqq 0$$

先ほどと同様に整理すると、次のようになる。

$$a + 2 - 2e \leqq 0$$

$$a \leqq 2e - 2$$

これと $a > 1$ との共通範囲をとると、$2e - 2 > 1$ であることにも注意して、以下の範囲を得る。

$$1 < a \leqq 2e - 2$$

以上 (i), (ii) より、求める $a$ の値の範囲は $1 < a \leqq 2e - 2$ となる。

解説

積分区間が定数から定数までである定積分を含む関数方程式の典型問題である。積分される関数の中に未知の関数が含まれていても、定積分全体を定数とおくことで解決できる。 後半の不等式を解く場面では、文字式をかける際にその符号によって不等号の向きが変わるかどうかの確認を怠らないようにする必要がある。分数不等式として $\frac{a - (2e - 2)}{1 - a} \geqq 0$ と変形し、$(a - (2e - 2))(1 - a) \geqq 0$ かつ $a \neq 1$ として解く方針をとることも可能である。

答え

$1 < a \leqq 2e - 2$