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数学3 定積分・面積問題 2 解説

方針・初手

定積分を含んだ関数列の漸化式である。積分変数は $t$ であり、積分区間は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ までの定数であるため、定積分された結果は $x$ に依存しない定数となる。被積分関数 $\cos(x-t)f_{n-1}(t)$ の中に $x$ と $t$ が混在しているため、まずは加法定理を用いて展開し、$t$ に無関係な $x$ の関数を積分の外へくくり出すことから始める。その後、定積分部分を定数として置き、連立漸化式に帰着させる。

解法1

与えられた漸化式について、加法定理 $\cos(x-t) = \cos x \cos t + \sin x \sin t$ を用いて変形する。

$$\begin{aligned} f_n(x) &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x \cos t + \sin x \sin t) f_{n-1}(t) dt \\ &= \cos x \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t f_{n-1}(t) dt + \sin x \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t f_{n-1}(t) dt \end{aligned}$$

ここで、$n \geqq 1$ に対して定数 $a_n, b_n$ を次のように定める。

$$a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t f_{n-1}(t) dt$$

$$b_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t f_{n-1}(t) dt$$

これを用いると、$f_n(x)$ は次のように表せる。

$$f_n(x) = a_n \cos x + b_n \sin x \quad (n \geqq 1)$$

この式より、変数 $t$ を用いると $f_n(t) = a_n \cos t + b_n \sin t$ となる。これを $a_{n+1}, b_{n+1}$ の定義式に代入する。

$$\begin{aligned} a_{n+1} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t f_n(t) dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t (a_n \cos t + b_n \sin t) dt \\ &= a_n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt + b_n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t dt \end{aligned}$$

ここで、それぞれの定積分を計算する。半角の公式および2倍角の公式を用いる。

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2t}{2} dt = \left[ \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$$

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2t}{2} dt = \left[ -\frac{\cos 2t}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}$$

したがって、$a_{n+1}$ は次のようになる。

$$a_{n+1} = \frac{\pi}{4} a_n + \frac{1}{2} b_n$$

同様にして、$b_{n+1}$ を計算する。

$$\begin{aligned} b_{n+1} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t f_n(t) dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t (a_n \cos t + b_n \sin t) dt \\ &= a_n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t dt + b_n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt \end{aligned}$$

先ほどと同様に定積分を計算する。

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 2t}{2} dt = \left[ \frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$$

したがって、$b_{n+1}$ は次のようになる。

$$b_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{\pi}{4} b_n$$

次に、$a_n, b_n$ の初項 $a_1, b_1$ を求める。$f_0(t) = 1$ より、

$$a_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t \cdot 1 dt = \left[ \sin t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$$

$$b_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cdot 1 dt = \left[ -\cos t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$$

得られた連立漸化式を解くために、2式の辺々を加え、また引く。

$$a_{n+1} + b_{n+1} = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right)(a_n + b_n) = \frac{\pi+2}{4} (a_n + b_n)$$

$$a_{n+1} - b_{n+1} = \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right)(a_n - b_n) = \frac{\pi-2}{4} (a_n - b_n)$$

これにより、数列 $\{a_n + b_n\}$ は初項 $a_1 + b_1 = 2$、公比 $\frac{\pi+2}{4}$ の等比数列となり、数列 $\{a_n - b_n\}$ は初項 $a_1 - b_1 = 0$、公比 $\frac{\pi-2}{4}$ の等比数列となることがわかる。

$$a_n + b_n = 2 \left( \frac{\pi+2}{4} \right)^{n-1}$$

$$a_n - b_n = 0 \cdot \left( \frac{\pi-2}{4} \right)^{n-1} = 0$$

第2式より $a_n = b_n$ であるから、これを第1式に代入して整理する。

$$2a_n = 2 \left( \frac{\pi+2}{4} \right)^{n-1}$$

$$a_n = \left( \frac{\pi+2}{4} \right)^{n-1}$$

これより $b_n$ も同様に定まる。

$$b_n = \left( \frac{\pi+2}{4} \right)^{n-1}$$

以上より、$n \geqq 1$ における $f_n(x)$ が求まる。

$$f_n(x) = \left( \frac{\pi+2}{4} \right)^{n-1} (\cos x + \sin x)$$

解説

定積分を含む関数方程式のうち、積分区間が定数であるパターンの典型問題である。「定積分を定数でおく」という方針を取るが、本問では被積分関数に $x$ と $t$ の両方が含まれているため、そのままでは定数として扱えない。加法定理を用いて変数分離を行うステップが最初の関門となる。その後は、2つの定積分をそれぞれ $a_n, b_n$ とおいて連立漸化式を立てる。導出された漸化式は対称性が高いため、和と差をとることで独立した2つの等比数列の漸化式に帰着させることができる。