トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 17

数学3 定積分・面積問題 17 解説

方針・初手

被積分関数を展開し、積分区間が $[-\pi, \pi]$ であることに着目して偶関数・奇関数の性質を利用する。計算して得られた定積分 $I$ を、定数 $a, b$ を変数とする2次関数とみて平方完成を行い、最小値を求める。

解法1

$I$ の被積分関数を展開する。

$$(x - a \sin x - b \cos x)^2 = x^2 + a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x - 2ax \sin x - 2bx \cos x + 2ab \sin x \cos x$$

これを区間 $[-\pi, \pi]$ で積分する。関数 $x \cos x$ および $\sin x \cos x$ は奇関数であるから、区間 $[-\pi, \pi]$ における定積分は $0$ となる。したがって、$I$ は次のように整理できる。

$$I = \int_{-\pi}^{\pi} (x^2 + a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x - 2ax \sin x) dx$$

関数 $x^2$, $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $x \sin x$ は偶関数であるから、積分範囲を $[0, \pi]$ にして2倍する。

$$I = 2 \int_{0}^{\pi} (x^2 + a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x - 2ax \sin x) dx$$

それぞれの定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi} x^2 dx &= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^3}{3} \\ \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx &= \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} \\ \int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx &= \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} \\ \int_{0}^{\pi} x \sin x dx &= \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos x) dx \\ &= \pi + \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi} = \pi \end{aligned}$$

これらを式に代入して、$I$ を $a, b$ の式として表す。

$$\begin{aligned} I &= 2 \left( \frac{\pi^3}{3} + a^2 \cdot \frac{\pi}{2} + b^2 \cdot \frac{\pi}{2} - 2a \cdot \pi \right) \\ &= \pi a^2 + \pi b^2 - 4\pi a + \frac{2}{3}\pi^3 \end{aligned}$$

次に、$I$ を $a, b$ についての2次式とみて、それぞれの変数について平方完成を行う。

$$\begin{aligned} I &= \pi (a^2 - 4a) + \pi b^2 + \frac{2}{3}\pi^3 \\ &= \pi (a - 2)^2 - 4\pi + \pi b^2 + \frac{2}{3}\pi^3 \\ &= \pi (a - 2)^2 + \pi b^2 + \frac{2}{3}\pi^3 - 4\pi \end{aligned}$$

$a, b$ は実数の定数であるから、$(a - 2)^2 \geqq 0$, $b^2 \geqq 0$ である。ゆえに、$I$ は $(a - 2)^2 = 0$ かつ $b^2 = 0$、すなわち $a = 2$, $b = 0$ のとき最小値をとる。そのときの最小値は $\frac{2}{3}\pi^3 - 4\pi$ である。

解説

積分区間が原点に対して対称な $[-a, a]$ の形である場合、被積分関数を偶関数と奇関数に分けて定積分を計算することが鉄則である。この性質を用いることで、部分積分の計算量や代入のミスを大幅に減らすことができる。また、独立した複数の変数（本問では $a$ と $b$）を含む2次式の最小値を求める問題では、それぞれの変数について平方完成を行い、$X^2 + Y^2 + C \geqq C$ の形を作るのが定石である。