数学3 定積分・面積 問題 16 解説

方針・初手

(1) 積分区間が $[-a, a]$ と対称であること、および $f(x) = f(-x)$ という偶関数の性質に着目する。積分区間を $[-a, 0]$ と $[0, a]$ に分割し、負の区間の積分において $x = -t$ と置換積分を行う方針、または積分全体に対して $x = -t$ の置換を行い、元の積分式と足し合わせる方針が有効である。

(2) 被積分関数の分子 $x \sin x$ を $f(x)$ とおいて $f(-x)$ を計算し、(1)の条件を満たすか確認する。条件を満たせば(1)の結果を直接適用し、積分区間が $[0, \frac{\pi}{2}]$ となった式を部分積分法を用いて計算する。

解法1

(1) 与式の左辺について、積分区間を $[-a, 0]$ と $[0, a]$ に分割する。

$$\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{1+e^{-x}} dx + \int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1+e^{-x}} dx$$

右辺第1項の積分について、$x = -t$ とおくと、 $dx = -dt$ であり、積分区間は $x$ が $-a \to 0$ のとき $t$ は $a \to 0$ となる。

$$\begin{aligned} \int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{1+e^{-x}} dx &= \int_{a}^{0} \frac{f(-t)}{1+e^t} (-dt) \\ &= \int_{0}^{a} \frac{f(-t)}{1+e^t} dt \end{aligned}$$

ここで、条件 $f(-x) = f(x)$ より $f(-t) = f(t)$ であるから、

$$\int_{0}^{a} \frac{f(-t)}{1+e^t} dt = \int_{0}^{a} \frac{f(t)}{1+e^t} dt$$

積分変数を $t$ から $x$ に戻すと、

$$\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1+e^x} dx$$

となる。これを最初の分割した式に代入する。

$$\begin{aligned} \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^{-x}} dx &= \int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1+e^x} dx + \int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1+e^{-x}} dx \\ &= \int_{0}^{a} f(x) \left( \frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}} \right) dx \end{aligned}$$

括弧内の第2項の分母分子に $e^x$ を掛けると、

$$\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x+1}$$

となるため、

$$\begin{aligned} \frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}} &= \frac{1}{1+e^x} + \frac{e^x}{1+e^x} \\ &= \frac{1+e^x}{1+e^x} \\ &= 1 \end{aligned}$$

したがって、

$$\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{0}^{a} f(x) dx$$

となり、示された。

(2) $f(x) = x \sin x$ とおく。

$$\begin{aligned} f(-x) &= (-x) \sin(-x) \\ &= (-x) (-\sin x) \\ &= x \sin x \\ &= f(x) \end{aligned}$$

よって、$f(x)$ は常に $f(x) = f(-x)$ を満たす。 したがって、(1)の結果において $a = \frac{\pi}{2}$ とした式を適用することができる。

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \sin x}{1+e^{-x}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$$

右辺の積分を部分積分法により計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x (-\cos x)' dx \\ &= \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \cdot (-\cos x) dx \\ &= \left( -\frac{\pi}{2} \cos\frac{\pi}{2} - 0 \right) + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx \\ &= 0 + \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 \\ &= 1 \end{aligned}$$

解法2

(1) 与えられた定積分の値を $I$ とおく。

$$I = \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^{-x}} dx$$

この積分において、$x = -t$ とおくと、$dx = -dt$ であり、積分区間は $x$ が $-a \to a$ のとき $t$ は $a \to -a$ となる。

$$\begin{aligned} I &= \int_{a}^{-a} \frac{f(-t)}{1+e^t} (-dt) \\ &= \int_{-a}^{a} \frac{f(-t)}{1+e^t} dt \end{aligned}$$

条件 $f(-x) = f(x)$ より $f(-t) = f(t)$ であるから、積分変数を $t$ から $x$ に戻して、

$$I = \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^x} dx$$

と表せる。ここで、元の $I$ と置き換えた $I$ を辺々足し合わせる。

$$\begin{aligned} 2I &= \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^{-x}} dx + \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^x} dx \\ &= \int_{-a}^{a} f(x) \left( \frac{1}{1+e^{-x}} + \frac{1}{1+e^x} \right) dx \end{aligned}$$

解法1と同様に、括弧内は $1$ になるため、

$$2I = \int_{-a}^{a} f(x) dx$$

ここで、条件 $f(x) = f(-x)$ より $f(x)$ は偶関数であるから、

$$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$$

が成り立つ。よって、

$$2I = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$$

両辺を $2$ で割ることで、

$$I = \int_{0}^{a} f(x) dx$$

となり、示された。(2)の計算は解法1に同じ。

解説

対称な積分区間 $[-a, a]$ を持つ定積分において、$x = -t$ と置換する手法は非常に典型かつ強力である。(1)で示された等式は「キングプロパティ」と呼ばれる性質の特殊な形とも見なすことができ、分母に指数関数が含まれる形から積分計算が不可能に見える式を、見慣れた偶関数の定積分へと帰着させている。 解法2のように全体を $x = -t$ と置換して元の式と足し合わせる方法は、計算量が少なく応用範囲が広いため、習得しておきたい。 (2)はこの(1)の誘導に従い、$x \sin x$ が偶関数であることを確認してから部分積分を実行する基本的な計算問題である。

答え

(1) 解説の通り

(2) $1$