数学3 定積分・面積 問題 39 解説

方針・初手

多項式 $x$ と指数関数 $e^x$ の積で表された関数の定積分である。このような形では、部分積分法を用いるのが定石である。 部分積分法 $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$ において、微分すると次数が下がる $x$ を $f(x)$ とし、積分しても形が変わらない $e^x$ を $g'(x)$ とみなして計算を進める。

解法1

部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x e^x dx &= \int_{0}^{1} x (e^x)' dx \\ &= \left[ x e^x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (x)' e^x dx \\ &= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - \int_{0}^{1} 1 \cdot e^x dx \\ &= e - \left[ e^x \right]_{0}^{1} \\ &= e - (e^1 - e^0) \\ &= e - (e - 1) \\ &= 1 \end{aligned}$$

解説

部分積分法の基本的な計算問題である。 積の積分において、どちらの関数を微分側に回し、どちらを積分側に回すかの判断が重要となる。 今回のように (多項式) $\times$ (指数関数) や (多項式) $\times$ (三角関数) の場合は、多項式を微分側に回すことで次数を下げ、積分を簡単にすることができる。 計算過程において、定積分 $e^0 = 1$ の評価ミスや、マイナス記号の分配ミスなどに注意したい。

答え

$1$