数学3 定積分・面積 問題 40 解説

方針・初手

多項式と三角関数の積の積分であるため、部分積分法を用いて計算する。多項式である $x$ を微分する側に、三角関数である $\sin x$ を積分する側に選ぶことで、積分しやすい形に変形していく。

解法1

部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^\pi x \sin x \, dx &= \Bigl[ x (-\cos x) \Bigr]_0^\pi - \int_0^\pi 1 \cdot (-\cos x) \, dx \\ &= \Bigl[ -x \cos x \Bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x \, dx \\ &= (-\pi \cos \pi - 0 \cdot \cos 0) + \Bigl[ \sin x \Bigr]_0^\pi \\ &= \{-\pi \cdot (-1) - 0\} + (\sin \pi - \sin 0) \\ &= \pi + (0 - 0) \\ &= \pi \end{aligned}$$

解説

$x \sin x$ のように、「多項式 $\times$ 三角関数」や「多項式 $\times$ 指数関数」の形をした関数の積分では、部分積分法が定石である。多項式を微分側に回すことで次数を下げ、最終的に積分可能な基本関数だけの形に持ち込むのが基本方針となる。

部分積分の計算過程において、$\sin x$ を積分した際のマイナスの符号や、代入計算時の符号ミスが起こりやすいため、括弧を適切に用いて丁寧に計算を進めたい。

答え

$$\pi$$