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数学3 定積分・面積問題 49 解説

方針・初手

(1)

定義式に $n=0$ を代入して計算する。

$$I_0 = \int_0^1 x^0 e^{-x} dx$$

$$I_0 = \int_0^1 e^{-x} dx$$

$$I_0 = \left[ -e^{-x} \right]_0^1$$

$$I_0 = -e^{-1} - (-1)$$

$$I_0 = 1 - \frac{1}{e}$$

(2)

$n \geqq 1$ のとき、部分積分法を用いて $I_n$ を変形する。

$$I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} dx$$

$$I_n = \int_0^1 x^n (-e^{-x})' dx$$

$$I_n = \left[ x^n (-e^{-x}) \right]_0^1 - \int_0^1 n x^{n-1} (-e^{-x}) dx$$

$$I_n = \left( 1^n \cdot (-e^{-1}) - 0 \right) + n \int_0^1 x^{n-1} e^{-x} dx$$

$$I_n = n I_{n-1} - \frac{1}{e}$$

(3)

$a_n = e(n! - I_n)$ より、

$$I_n = n! - \frac{a_n}{e}$$

これを(2)で求めた漸化式 $I_n = n I_{n-1} - \frac{1}{e}$ に代入する。

$$n! - \frac{a_n}{e} = n \left( (n-1)! - \frac{a_{n-1}}{e} \right) - \frac{1}{e}$$

$$n! - \frac{a_n}{e} = n! - \frac{n a_{n-1}}{e} - \frac{1}{e}$$

両辺から $n!$ を引き、両辺に $-e$ を掛ける。

$$a_n = n a_{n-1} + 1$$

(4)

(3)で求めた漸化式を用いて、$a_5$ を求める。まず、$a_0$ を計算する。

$$a_0 = e(0! - I_0)$$

$0! = 1$ であり、(1)より $I_0 = 1 - \frac{1}{e}$ であるから、

$$a_0 = e \left( 1 - \left( 1 - \frac{1}{e} \right) \right) = e \cdot \frac{1}{e} = 1$$

漸化式 $a_n = n a_{n-1} + 1$ に順次代入して $a_5$ まで求める。

$$a_1 = 1 \cdot a_0 + 1 = 1 \cdot 1 + 1 = 2$$

$$a_2 = 2 \cdot a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$$

$$a_3 = 3 \cdot a_2 + 1 = 3 \cdot 5 + 1 = 16$$

$$a_4 = 4 \cdot a_3 + 1 = 4 \cdot 16 + 1 = 65$$

$$a_5 = 5 \cdot a_4 + 1 = 5 \cdot 65 + 1 = 326$$

定義式 $a_n = e(n! - I_n)$ に $n=5$ を代入する。

$$a_5 = e(5! - I_5)$$

$$326 = e(120 - I_5)$$

$$120 - I_5 = \frac{326}{e}$$

$$I_5 = 120 - \frac{326}{e}$$

被積分関数が「多項式 $\times$ 指数関数」の形をしている定積分の漸化式は、多項式側の次数を下げるために部分積分を繰り返し用いるのが基本である。
(4)において、(2)の漸化式 $I_n = n I_{n-1} - \frac{1}{e}$ を直接用いて $I_5$ を求めることも可能であるが、分母に $e$ を含まない整数列 $a_n$ の漸化式を用いる方が計算ミスを防ぎやすい。出題者の意図も計算の簡略化にあると考えられる。