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数学3 定積分・面積問題 50 解説

方針・初手

被積分関数が $\sin(\log x)$ であり、そのままでは積分公式を適用できない。このような場合は、$\int 1 \cdot \sin(\log x) dx$ とみなして部分積分を2回行うか、あるいは $t = \log x$ と置換してから積分を計算する。部分積分を2回繰り返すことで、元の積分式と同じ形が現れる（同形出現）ので、それを方程式とみて解くのが定石である。

解法1

求める不定積分を $I$ とおく。

$$I = \int \sin(\log x) dx$$

被積分関数を $1 \cdot \sin(\log x)$ とみなし、部分積分法を用いると、

$$\begin{aligned} I &= \int 1 \cdot \sin(\log x) dx \\ &= x \sin(\log x) - \int x \cdot \left( \sin(\log x) \right)' dx \\ &= x \sin(\log x) - \int x \cdot \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= x \sin(\log x) - \int \cos(\log x) dx \end{aligned}$$

さらに右辺の積分 $\int \cos(\log x) dx$ に対して、もう一度部分積分を行う。

$$\begin{aligned} \int \cos(\log x) dx &= \int 1 \cdot \cos(\log x) dx \\ &= x \cos(\log x) - \int x \cdot \left( \cos(\log x) \right)' dx \\ &= x \cos(\log x) - \int x \cdot \left( -\sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} \right) dx \\ &= x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx \\ &= x \cos(\log x) + I \end{aligned}$$

これを先ほどの式に代入すると、元の積分 $I$ に関する方程式が得られる。

$$\begin{aligned} I &= x \sin(\log x) - \left( x \cos(\log x) + I \right) \\ 2I &= x \sin(\log x) - x \cos(\log x) \end{aligned}$$

したがって、求める不定積分は、積分定数を $C$ として以下のようになる。

$$I = \frac{x}{2} \left( \sin(\log x) - \cos(\log x) \right) + C$$

解法2

$t = \log x$ とおくと、$x = e^t$ である。両辺を $t$ で微分すると $\frac{dx}{dt} = e^t$ より、$dx = e^t dt$ となる。

これを用いて置換積分を行うと、積分は以下のように書き換えられる。

$$\int \sin(\log x) dx = \int e^t \sin t dt$$

ここで、$J = \int e^t \sin t dt$ とおき、部分積分を2回行う。

$$\begin{aligned} J &= \int (e^t)' \sin t dt \\ &= e^t \sin t - \int e^t \cos t dt \\ &= e^t \sin t - \int (e^t)' \cos t dt \\ &= e^t \sin t - \left( e^t \cos t - \int e^t (-\sin t) dt \right) \\ &= e^t \sin t - e^t \cos t - \int e^t \sin t dt \\ &= e^t (\sin t - \cos t) - J \end{aligned}$$

よって、$J$ についての方程式が得られるのでこれを解く。

$$2J = e^t (\sin t - \cos t)$$

$$J = \frac{e^t}{2} (\sin t - \cos t) + C$$

（$C$ は積分定数）

最後に $t = \log x$, $e^t = x$ を代入して元の変数 $x$ に戻すと、求める結果が得られる。

$$\int \sin(\log x) dx = \frac{x}{2} \left( \sin(\log x) - \cos(\log x) \right) + C$$

解説

$\int e^x \sin x dx$ や今回の $\int \sin(\log x) dx$ のように、微分しても積分しても元の関数と似た形が循環して現れる関数同士の積分では、部分積分を2回繰り返すことで元の積分式を再出現させ、方程式として解く手法が極めて有効である。解法1のように直接部分積分を行ってもよいし、解法2のように一度置換積分を行うことで典型的な形に帰着させてから計算してもよい。計算ミスを防ぎやすい方針を選ぶとよい。