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数学3 定積分・面積問題 52 解説

方針・初手

積分区間 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、$f(x)$ と $g(x)$ の大小関係を調べる必要がある。差をとって符号を調べ、区間ごとに $h(x)$ の正体を決定してから定積分を計算する。

解法1

$f(x)$ と $g(x)$ の差をとる。

$$\begin{aligned} f(x) - g(x) &= \sin 2x - \sin x - \left( \cos x - \frac{1}{2} \right) \\ &= 2\sin x \cos x - \sin x - \cos x + \frac{1}{2} \\ &= \sin x (2\cos x - 1) - \frac{1}{2}(2\cos x - 1) \\ &= \left( \sin x - \frac{1}{2} \right)(2\cos x - 1) \end{aligned}$$

積分区間 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、$\sin x - \frac{1}{2} = 0$ となるのは $x = \frac{\pi}{6}$ であり、$2\cos x - 1 = 0$ となるのは $x = \frac{\pi}{3}$ である。したがって、この区間における $f(x) - g(x)$ の符号は以下のようになる。

(i) $0 \le x \le \frac{\pi}{6}$ のとき

$\sin x \le \frac{1}{2}$ かつ $\cos x \ge \frac{1}{2}$ より、$\sin x - \frac{1}{2} \le 0$、$2\cos x - 1 \ge 0$ となる。よって、$f(x) - g(x) \le 0$ より $f(x) \le g(x)$ となるため、$h(x) = g(x)$ である。

(ii) $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{3}$ のとき

$\sin x \ge \frac{1}{2}$ かつ $\cos x \ge \frac{1}{2}$ より、$\sin x - \frac{1}{2} \ge 0$、$2\cos x - 1 \ge 0$ となる。よって、$f(x) - g(x) \ge 0$ より $f(x) \ge g(x)$ となるため、$h(x) = f(x)$ である。

(iii) $\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき

$\sin x \ge \frac{1}{2}$ かつ $\cos x \le \frac{1}{2}$ より、$\sin x - \frac{1}{2} \ge 0$、$2\cos x - 1 \le 0$ となる。よって、$f(x) - g(x) \le 0$ より $f(x) \le g(x)$ となるため、$h(x) = g(x)$ である。

以上より、求める定積分は次のように区間を分割して計算できる。

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} h(x) dx &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} g(x) dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(x) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \{ f(x) - g(x) \} dx \end{aligned}$$

ここで、それぞれの積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos x - \frac{1}{2} \right) dx \\ &= \left[ \sin x - \frac{1}{2}x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 1 - \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

また、

$$\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \{ f(x) - g(x) \} dx &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left( \sin 2x - \sin x - \cos x + \frac{1}{2} \right) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x + \cos x - \sin x + \frac{1}{2}x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{12} \right) \\ &= \left( \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} \right) - \left( -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} \right) \\ &= \frac{3}{2} - \sqrt{3} + \frac{\pi}{12} \end{aligned}$$

したがって、求める定積分の値は

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} h(x) dx &= \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) + \left( \frac{3}{2} - \sqrt{3} + \frac{\pi}{12} \right) \\ &= \frac{5}{2} - \sqrt{3} - \frac{\pi}{6} \end{aligned}$$

解説

複数の関数の最大値・最小値で定義された関数を積分する問題において基本となる「区間ごとの大小関係の把握」が問われている。差をとって因数分解できることに気付けば、各因数の符号の変化は容易に追うことができる。また、定積分の計算において、分割された3つの区間の定積分を愚直に計算してもよいが、解答のように $\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \{f(x) - g(x)\} dx$ の形にまとめることで、計算量や代入ミスのリスクを減らす工夫ができる。