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数学3 定積分・面積問題 55 解説

方針・初手

(1) は、被積分関数の分母と分子に $\cos x$ を掛けて、$\sin x = t$ と置換する標準的な定積分の手法を用いる。 (2) は、極限と級数の問題である。分子の対数を整理して $k$ に依存しない形にし、シグマの外へくくり出す。問題文で与えられた自然対数の底 $e$ の定義式を利用する形に変形し、残りのシグマ部分には区分求積法を適用して(1)の結果を利用する。

解法1

(1) 求める定積分を $I$ とおく。

$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos x} dx$$

被積分関数の分母と分子に $\cos x$ を掛けると、次のようになる。

$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx$$

ここで、$t = \sin x$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = \cos x$ より $dt = \cos x dx$ となる。積分区間について、$x$ が $0$ から $\frac{\pi}{3}$ に変化するとき、$t$ は $0$ から $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に変化する。したがって、

$$I = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{1-t^2} dt$$

被積分関数を部分分数に分解する。

$$\frac{1}{1-t^2} = \frac{1}{(1-t)(1+t)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t} \right)$$

これを積分する。

$$\begin{aligned} I &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left( \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t} \right) dt \\ &= \frac{1}{2} \Big[ \log|1+t| - \log|1-t| \Big]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \log \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \log \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \end{aligned}$$

真数の分母を有理化する。

$$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3})^2}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3} = (2+\sqrt{3})^2$$

よって、定積分の値は以下のように求まる。

$$I = \frac{1}{2} \log (2+\sqrt{3})^2 = \log (2+\sqrt{3})$$

(2) 求める極限値を $L$ とする。まず、シグマの中の分子を変形する。

$$\begin{aligned} \log(n^2+2n+1) - \log n^2 &= \log(n+1)^2 - \log n^2 \\ &= 2\log(n+1) - 2\log n \\ &= 2\log \frac{n+1}{n} \\ &= 2\log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \end{aligned}$$

与えられた極限の式 $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$ を用いるために、無理やり $\frac{1}{n}$ と $n$ 乗の形を作り出す。

$$2\log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \frac{2}{n} \cdot n \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \frac{2}{n} \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$

これを元の式のシグマの中に代入する。この部分はシグマの変数 $k$ に依存しないため、シグマの外に出すことができる。

$$\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\frac{2}{n} \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}{3 \cos \left( \frac{\pi}{3n}k \right)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{2}{3} \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\cos \left( \frac{\pi}{3} \cdot \frac{k}{n} \right)} \right\} \end{aligned}$$

ここで、極限を2つの部分に分けて考える。前半部分について、問題文の条件より以下が成り立つ。

$$\lim_{n \to \infty} \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \log e = 1$$

後半部分について、区分求積法を用いる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\cos \left( \frac{\pi}{3} \cdot \frac{k}{n} \right)} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\cos \left( \frac{\pi}{3} x \right)} dx$$

この定積分において、$u = \frac{\pi}{3} x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{\pi}{3}$ より $dx = \frac{3}{\pi} du$ となる。 $x$ が $0$ から $1$ に変化するとき、$u$ は $0$ から $\frac{\pi}{3}$ に変化する。

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\cos \left( \frac{\pi}{3} x \right)} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos u} \cdot \frac{3}{\pi} du = \frac{3}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos u} du$$

この定積分は(1)で求めた式と一致するため、その値は $\log(2+\sqrt{3})$ である。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\cos \left( \frac{\pi}{3} \cdot \frac{k}{n} \right)} = \frac{3}{\pi} \log(2+\sqrt{3})$$

以上より、極限値 $L$ は次のように求まる。

$$L = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \frac{3}{\pi} \log(2+\sqrt{3}) = \frac{2}{\pi} \log(2+\sqrt{3})$$

解説

$\frac{1}{\cos x}$ や $\frac{1}{\sin x}$ の積分は頻出パターンである。分母分子に $\cos x$（または $\sin x$）を掛けて $\sin x$（または $\cos x$）で置換する方法は定石として確実に習得しておきたい。 (2) は一見すると複雑な形をしているが、分子が $k$ に依存していないことに気付くのがポイントである。シグマの性質を用いて $k$ と無関係な部分を前にくくり出し、残った部分に区分求積法を適用するという流れは、極限と定積分の融合問題における典型的な処理である。また、対数の差からネイピア数 $e$ の定義式の形へ持ち込む式変形も頻出のテクニックである。