数学3 定積分・面積 問題 56 解説

方針・初手

極限の式に $\sum$ があり、かつその中に $\frac{k}{n}$ の式、外に $\frac{1}{n}$ があることから、区分求積法の利用を第一に考える。もしくは、先にシグマ計算を実行して $n$ の式で表した後に $n \to \infty$ の極限をとる方針でも解くことができる。

解法1

区分求積法を用いる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$$

の公式を利用する。

関数 $f(x) = (4+x)^2$ とおくと、与式は次のように定積分で表される。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( 4 + \frac{k}{n} \right)^2 = \int_0^1 (4+x)^2 \, dx$$

この定積分を計算する。

$$\int_0^1 (4+x)^2 \, dx = \left[ \frac{(4+x)^3}{3} \right]_0^1$$

$$= \frac{5^3}{3} - \frac{4^3}{3}$$

$$= \frac{125 - 64}{3}$$

$$= \frac{61}{3}$$

（※ 被積分関数を $x^2$ とし、積分区間を $4$ から $5$ までとして $\int_4^5 x^2 \, dx$ を計算しても同じ結果が得られる。）

解法2

$\sum$ の計算を先に実行してから極限をとる。

与式のシグマの中身を展開する。

$$\left( 4 + \frac{k}{n} \right)^2 = 16 + \frac{8k}{n} + \frac{k^2}{n^2}$$

和を計算する。

$$\sum_{k=1}^n \left( 16 + \frac{8k}{n} + \frac{k^2}{n^2} \right) = \sum_{k=1}^n 16 + \frac{8}{n}\sum_{k=1}^n k + \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k^2$$

公式 $\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$、$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を代入する。

$$= 16n + \frac{8}{n} \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

$$= 16n + 4(n+1) + \frac{(n+1)(2n+1)}{6n}$$

これを与式の極限の式に代入し、$n \to \infty$ とする。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left\{ 16n + 4(n+1) + \frac{(n+1)(2n+1)}{6n} \right\}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \left\{ 16 + 4\left(1+\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right) \right\}$$

極限をとると、$\frac{1}{n} \to 0$ となるため、

$$= 16 + 4(1+0) + \frac{1}{6}(1+0)(2+0)$$

$$= 16 + 4 + \frac{1}{3}$$

$$= \frac{61}{3}$$

解説

区分求積法の最も基本的な形である。$\frac{1}{n}$ がシグマの外にあり、シグマの中が $\frac{k}{n}$ の関数になっている形を見たら、すぐに定積分に直すことができるようにしておきたい。解法2のように直接計算することも可能だが、式がより複雑になった場合は区分求積法が圧倒的に有利であるため、定積分による解法を習熟しておくべきである。

答え

$\frac{61}{3}$