数学3 定積分・面積 問題 77 解説

方針・初手

(1) については、被積分関数を展開して直接計算します。

(2) については、部分積分法を用いて漸化式を導きます。$x^m$ を積分側に、$(1-x)^n$ を微分側に回すことで、$x$ の次数が上がり、$(1-x)$ の次数が下がるため、$I(m+1, n-1)$ を作り出すことができます。

(3) については、(2) で得られた漸化式を繰り返し適用し、$n$ の値を $1$ まで下げることで、(1) の結果が利用できる形に帰着させます。

解法1

(1)

定義より、

$$I(m, 1) = \int_0^1 x^m (1-x) dx$$

被積分関数を展開すると、

$$\begin{aligned} I(m, 1) &= \int_0^1 (x^m - x^{m+1}) dx \\ &= \left[ \frac{1}{m+1}x^{m+1} - \frac{1}{m+2}x^{m+2} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2} \\ &= \frac{(m+2) - (m+1)}{(m+1)(m+2)} \\ &= \frac{1}{(m+1)(m+2)} \end{aligned}$$

(2)

$n \geqq 2$ のとき、部分積分法を用います。$x^m = \left( \frac{x^{m+1}}{m+1} \right)'$ とみて計算します。

$$\begin{aligned} I(m, n) &= \int_0^1 x^m (1-x)^n dx \\ &= \int_0^1 \left( \frac{x^{m+1}}{m+1} \right)' (1-x)^n dx \\ &= \left[ \frac{x^{m+1}}{m+1} (1-x)^n \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot n(1-x)^{n-1} \cdot (-1) dx \end{aligned}$$

ここで、第1項について、上端 $x=1$ を代入すると $(1-1)^n = 0$ となり、下端 $x=0$ を代入すると $0^{m+1} = 0$ となるため、この項の値は $0$ になります。

したがって、第2項のみが残り、定数部分を積分の外に出すと、

$$\begin{aligned} I(m, n) &= 0 + \frac{n}{m+1} \int_0^1 x^{m+1} (1-x)^{n-1} dx \\ &= \frac{n}{m+1} I(m+1, n-1) \end{aligned}$$

(3)

(2) で求めた漸化式 $I(m, n) = \frac{n}{m+1} I(m+1, n-1)$ を繰り返し用いると、次のように展開できます。

$$\begin{aligned} I(m, n) &= \frac{n}{m+1} I(m+1, n-1) \\ &= \frac{n}{m+1} \cdot \frac{n-1}{m+2} I(m+2, n-2) \\ &= \frac{n}{m+1} \cdot \frac{n-1}{m+2} \cdot \frac{n-2}{m+3} I(m+3, n-3) \\ & \vdots \\ &= \frac{n}{m+1} \cdot \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{2}{m+n-1} I(m+n-1, 1) \end{aligned}$$

ここで、(1) の結果において $m$ を $m+n-1$ に置き換えると、

$$\begin{aligned} I(m+n-1, 1) &= \frac{1}{(m+n-1+1)(m+n-1+2)} \\ &= \frac{1}{(m+n)(m+n+1)} \end{aligned}$$

これを代入すると、

$$I(m, n) = \frac{n(n-1) \cdots 2}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n-1)} \cdot \frac{1}{(m+n)(m+n+1)}$$

分子に $1$ を補い、分母分子に $m! = m(m-1)\cdots 1$ を掛けて階乗の形で整理すると、

$$\begin{aligned} I(m, n) &= \frac{n!}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n+1)} \\ &= \frac{m! n!}{m! (m+1)(m+2) \cdots (m+n+1)} \\ &= \frac{m! n!}{(m+n+1)!} \end{aligned}$$

解説

この積分 $I(m,n)$ は「ベータ関数」と呼ばれる有名な積分（の自然数における特別な場合）です。部分積分を用いて次数をずらしていく手法は、定積分の漸化式における最も基本的かつ重要な解法パターンの一つです。

この結果は一般化された $1/6$ 公式として知られる $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx = \frac{m!n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$ の基礎となるため、結果そのものを覚えておくことで検算にも役立ちます。

答え

(1)

$$I(m, 1) = \frac{1}{(m+1)(m+2)}$$

(2)

$$I(m, n) = \frac{n}{m+1} I(m+1, n-1)$$

(3)

$$I(m, n) = \frac{m! n!}{(m+n+1)!}$$