トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 81

数学3 定積分・面積問題 81 解説

方針・初手

(1) 関数を微分し、導関数の符号を調べて増減表を作成する。無理関数の微分公式と積の微分公式を用いる。$f(-x) = f(x)$ より $y$ 軸対称（偶関数）であることを利用すると計算量を減らせる。

(2) $y \geqq 0$ であることから、定積分 $\int_{-3}^{3} y \,dx$ を計算する。$\sqrt{a^2-x^2}$ を含む積分であるため、$x = 3\sin\theta$ と置換積分を行う。偶関数の性質を利用し、積分区間を $0 \leqq x \leqq 3$ に限定して計算を簡略化する。

解法1

(1)

与えられた関数は $y = \frac{1}{3}(x^2+3)\sqrt{9-x^2}$ $(-3 \leqq x \leqq 3)$ である。

$x$ を $-x$ に置き換えても $y$ の値は変わらないため、この関数は偶関数であり、そのグラフは $y$ 軸に関して対称である。したがって、$0 \leqq x \leqq 3$ の範囲で増減を調べる。

$0 < x < 3$ において、$y$ を $x$ で微分すると、

$$y' = \frac{1}{3} \left\{ 2x \sqrt{9-x^2} + (x^2+3) \cdot \frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} \right\}$$

$$= \frac{1}{3\sqrt{9-x^2}} \left\{ 2x(9-x^2) - x(x^2+3) \right\}$$

$$= \frac{x}{3\sqrt{9-x^2}} \left( 18 - 2x^2 - x^2 - 3 \right)$$

$$= \frac{x(15 - 3x^2)}{3\sqrt{9-x^2}}$$

$$= \frac{x(5-x^2)}{\sqrt{9-x^2}}$$

$y' = 0$ となるのは、$0 < x < 3$ より $x = \sqrt{5}$ のときである。

$x = \sqrt{5}$ のとき、

$$y = \frac{1}{3}(5+3)\sqrt{9-5} = \frac{8}{3} \cdot 2 = \frac{16}{3}$$

$x = 0$ のとき、

$$y = \frac{1}{3}(0+3)\sqrt{9-0} = 3$$

$x = 3$ のとき、$y = 0$ である。

対称性を考慮すると、$-3 \leqq x \leqq 3$ における増減表は次のようになる。

$x$	$-3$	$\cdots$	$-\sqrt{5}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\sqrt{5}$	$\cdots$	$3$
$y'$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$y$	$0$	$\nearrow$	$\frac{16}{3}$	$\searrow$	$3$	$\nearrow$	$\frac{16}{3}$	$\searrow$	$0$

以上より、極大値は $\frac{16}{3}$ ($x = \pm\sqrt{5}$ のとき)、極小値は $3$ ($x=0$ のとき) となる。概形は、点 $(0, 3)$ で極小、点 $(\pm\sqrt{5}, \frac{16}{3})$ で極大となり、両端点 $(\pm3, 0)$ を結ぶ、$y$ 軸対称なM字型の曲線となる。（図示は省略）

(2)

$-3 \leqq x \leqq 3$ において $y \geqq 0$ であり、$y$ は偶関数であるから、求める面積を $S$ とすると、

$$S = \int_{-3}^{3} \frac{x^2+3}{3}\sqrt{9-x^2} \,dx = 2 \int_{0}^{3} \frac{x^2+3}{3}\sqrt{9-x^2} \,dx$$

ここで、$x = 3\sin\theta$ とおく。 $x$ が $0$ から $3$ まで変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化する。また、$\frac{dx}{d\theta} = 3\cos\theta$ より $dx = 3\cos\theta \,d\theta$ である。 $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\cos\theta \geqq 0$ であるから、

$$\sqrt{9-x^2} = \sqrt{9-9\sin^2\theta} = \sqrt{9\cos^2\theta} = 3\cos\theta$$

これらを定積分の式に代入すると、

$$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{9\sin^2\theta+3}{3} \cdot 3\cos\theta \cdot 3\cos\theta \,d\theta$$

$$= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (3\sin^2\theta+1) \cdot 9\cos^2\theta \,d\theta$$

$$= 18 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (3\sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^2\theta) \,d\theta$$

ここで、半角の公式および2倍角の公式より、

$$3\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{3}{4}(2\sin\theta\cos\theta)^2 = \frac{3}{4}\sin^2 2\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{1-\cos 4\theta}{2} = \frac{3}{8}(1-\cos 4\theta)$$

$$\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$$

したがって、被積分関数は、

$$3\sin^2\theta\cos^2\theta + \cos^2\theta = \frac{3}{8}(1-\cos 4\theta) + \frac{1}{2}(1+\cos 2\theta) = \frac{7}{8} + \frac{1}{2}\cos 2\theta - \frac{3}{8}\cos 4\theta$$

よって、面積 $S$ は、

$$S = 18 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{7}{8} + \frac{1}{2}\cos 2\theta - \frac{3}{8}\cos 4\theta \right) \,d\theta$$

$$= 18 \left[ \frac{7}{8}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta - \frac{3}{32}\sin 4\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= 18 \left( \frac{7}{8} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = 18 \cdot \frac{7\pi}{16} = \frac{63\pi}{8}$$