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数学3 定積分・面積問題 82 解説

方針・初手

媒介変数で表された曲線の微分、弧長、面積を求める標準的な問題である。 (1) は合成関数の微分法（媒介変数表示の微分法）を用いる。 (2) は曲線の長さの公式 $L = \int \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$ に代入して計算する。半角の公式を用いたルートの外し方がポイントとなる。 (3) は置換積分法を用いて、$x$ の積分から $t$ の積分へ変換して面積を計算する。

解法1

(1)

$x = t + \sin t$, $y = 1 - \cos t$ をそれぞれ $t$ で微分すると、

$$\frac{dx}{dt} = 1 + \cos t$$

$$\frac{dy}{dt} = \sin t$$

$0 < t < \pi$ の範囲において、$\cos t \neq -1$ であるから $\frac{dx}{dt} = 1 + \cos t \neq 0$ となる。したがって、媒介変数表示された関数の導関数は、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\sin t}{1 + \cos t}$$

さらに、2倍角の公式（半角の公式）を用いて整理すると、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}$$

(2)

曲線の長さを $L$ とおく。弧長の公式より、

$$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$

根号の中を計算すると、

$$\begin{aligned} \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 &= (1 + \cos t)^2 + (\sin t)^2 \\ &= 1 + 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t \\ &= 2 + 2\cos t \\ &= 2(1 + \cos t) \end{aligned}$$

ここで、半角の公式 $1 + \cos t = 2\cos^2 \frac{t}{2}$ を用いると、

$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 4\cos^2 \frac{t}{2}$$

$0 \leqq t \leqq \pi$ のとき、$0 \leqq \frac{t}{2} \leqq \frac{\pi}{2}$ であり、$\cos \frac{t}{2} \geqq 0$ であるから、

$$\sqrt{4\cos^2 \frac{t}{2}} = 2\cos \frac{t}{2}$$

したがって、求める曲線の長さ $L$ は、

$$\begin{aligned} L &= \int_{0}^{\pi} 2\cos \frac{t}{2} dt \\ &= \left[ 4\sin \frac{t}{2} \right]_{0}^{\pi} \\ &= 4\sin \frac{\pi}{2} - 4\sin 0 \\ &= 4 \end{aligned}$$

(3)

求める面積を $S$ とおく。 $t$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、$x$ は $0$ から $\pi$ まで単調に増加する。また、この区間において $y = 1 - \cos t \geqq 0$ である。したがって、求める面積 $S$ は、

$$S = \int_{0}^{\pi} y dx$$

$dx = (1 + \cos t)dt$ であるから、$x$ についての積分を $t$ についての積分に置換すると、

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{\pi} (1 - \cos t)(1 + \cos t) dt \\ &= \int_{0}^{\pi} (1 - \cos^2 t) dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \sin^2 t dt \end{aligned}$$

半角の公式 $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ を用いて計算すると、

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt \\ &= \left[ \frac{t}{2} - \frac{1}{4}\sin 2t \right]_{0}^{\pi} \\ &= \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) - (0 - 0) \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

解説

サイクロイドに関連する曲線の微分・積分の典型問題である。 (1) の導関数は $\frac{\sin t}{1 + \cos t}$ のままでも正答として扱われることが多いが、半角の公式を用いて $\tan \frac{t}{2}$ まで整理する変形は、接線の傾きや図形的性質を調べる際によく用いられるので習熟しておきたい。 (2) の弧長計算では、$1 + \cos t = 2\cos^2 \frac{t}{2}$ の変形を用いて根号を外す手順が必須である。このとき、積分区間における絶対値の扱いに注意する必要があるが、本問では中身が正であるためそのまま外すことができる。 (3) の面積計算では、$x$ 積分から $t$ 積分への置換積分を正しく行い、$\sin^2 t$ の積分を実行する基本的な処理能力が問われている。