数学3 定積分・面積 問題 135 解説

方針・初手

被積分関数が指数関数 $e^{-x}$ とその累乗で構成されているため、$t = e^{-x}$ と置換することで、被積分関数を $t$ の有理関数（分数関数）の形に帰着させる。

解法1

$t = e^{-x}$ とおく。両辺を $x$ で微分すると

$$\frac{dt}{dx} = -e^{-x}$$

となるため、

$$e^{-x}dx = -dt$$

である。与えられた不定積分は次のように変形できる。

$$\int \frac{e^{-2x}}{1+e^{-x}} dx = \int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} \cdot e^{-x} dx$$

ここで置換を実行すると、

$$\begin{aligned} \int \frac{t}{1+t} \cdot (-1) dt &= -\int \frac{(t+1)-1}{t+1} dt \\ &= -\int \left( 1 - \frac{1}{t+1} \right) dt \\ &= -t + \log |t+1| + C \end{aligned}$$

となる（$C$ は積分定数）。 実数 $x$ において常に $e^{-x} > 0$ であるから、$t+1 = e^{-x} + 1 > 0$ となり、真数の絶対値記号はそのまま外すことができる。 最後に $t$ を $x$ の式に戻して、

$$-e^{-x} + \log (e^{-x} + 1) + C$$

となる。

解法2

分母全体を $u = 1+e^{-x}$ とおく。両辺を $x$ で微分すると

$$\frac{du}{dx} = -e^{-x}$$

となるため、

$$e^{-x}dx = -du$$

である。また、$u = 1+e^{-x}$ より $e^{-x} = u-1$ である。 与えられた不定積分を同様に変形し、置換を実行する。

$$\begin{aligned} \int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} \cdot e^{-x} dx &= \int \frac{u-1}{u} \cdot (-1) du \\ &= \int \frac{1-u}{u} du \\ &= \int \left( \frac{1}{u} - 1 \right) du \\ &= \log |u| - u + C' \end{aligned}$$

となる（$C'$ は積分定数）。 実数 $x$ において $u = 1+e^{-x} > 0$ であるから、絶対値記号はそのまま外すことができる。 $u$ を $x$ の式に戻すと、

$$\log (1+e^{-x}) - (1+e^{-x}) + C' = -e^{-x} + \log (e^{-x} + 1) - 1 + C'$$

ここで、$-1+C'$ は任意の定数であるから、これを改めて積分定数 $C$ とおき直すことで、

$$-e^{-x} + \log (e^{-x} + 1) + C$$

となる。

解説

$e^{x}$ や $e^{-x}$ を含む関数の不定積分は、$t = e^{x}$ や $t = e^{-x}$ と置換することで見通しが良くなることが多い。 本問では、分子の $e^{-2x}$ を $e^{-x} \cdot e^{-x}$ と分解し、片方を置換による $dt$ の生成に利用し、もう片方をそのまま $t$ に置き換えるのがポイントである。 置換後は「分子の次数 $\geqq$ 分母の次数」の有理関数となるため、分子に分母と同じ形を作り出して式を分割し、分子の次数を下げる（帯分数化する）という定石の式変形を行う。また、対数の真数条件から絶対値が外れることの確認も重要である。

答え

$-e^{-x} + \log (e^{-x} + 1)$