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数学3 定積分・面積問題 137 解説

方針・初手

有理関数の積分問題である。被積分関数の分母 $x^3+1$ は $(x+1)(x^2-x+1)$ と因数分解できるため、問題の誘導に従って部分分数分解を行う。得られた定数を用いて積分を実行する。その際、分子が分母の導関数となる形を作り出すことがポイントとなる。

解法1

与えられた等式

$$\frac{x-1}{x^3+1} = \frac{\alpha x + \beta}{x^2-x+1} + \frac{\gamma}{x+1}$$

は、$x \neq -1$ における恒等式である。両辺に $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ を掛けると、

$$x-1 = (\alpha x + \beta)(x+1) + \gamma(x^2-x+1)$$

となる。右辺を展開して $x$ について整理すると、

$$x-1 = (\alpha + \gamma)x^2 + (\alpha + \beta - \gamma)x + (\beta + \gamma)$$

これが $x$ についての恒等式であるから、両辺の係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} \alpha + \gamma = 0 \\ \alpha + \beta - \gamma = 1 \\ \beta + \gamma = -1 \end{cases}$$

第1式より $\gamma = -\alpha$。これを第2式、第3式に代入すると、

$$\begin{cases} 2\alpha + \beta = 1 \\ -\alpha + \beta = -1 \end{cases}$$

この2式から辺々引くと $3\alpha = 2$ となり、$\alpha = \frac{2}{3}$ を得る。残りの文字も順次求めると、$\beta = -\frac{1}{3}$、$\gamma = -\frac{2}{3}$ となる。

次に、この結果を用いて積分を計算する。

$$\int \frac{x-1}{x^3+1} dx = \int \left( \frac{\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}}{x^2-x+1} - \frac{\frac{2}{3}}{x+1} \right) dx$$

$$= \frac{1}{3} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx - \frac{2}{3} \int \frac{1}{x+1} dx$$

ここで、$(x^2-x+1)' = 2x-1$ であるから、

$$\frac{1}{3} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{3} \log(x^2-x+1) + C_1$$

（ただし $x^2-x+1 = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$ より絶対値記号は不要である）また、第2項については

$$-\frac{2}{3} \int \frac{1}{x+1} dx = -\frac{2}{3} \log|x+1| + C_2$$

以上より、積分定数を $C$ とすると、

$$\int \frac{x-1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \log(x^2-x+1) - \frac{2}{3} \log|x+1| + C$$

$$= \frac{1}{3} \left( \log(x^2-x+1) - 2\log|x+1| \right) + C$$

$$= \frac{1}{3} \log \frac{x^2-x+1}{(x+1)^2} + C$$

ここで、$(x+1)^2 > 0$ であり、$x^2-x+1 > 0$ であるため、真数は常に正となり絶対値記号は不要である。

解法2

部分分数分解における恒等式の処理において、数値代入法を用いることもできる。

$$x-1 = (\alpha x + \beta)(x+1) + \gamma(x^2-x+1)$$

この式は恒等式であるため、任意の $x$ の値について成り立つ。

$x = -1$ を代入

$$-2 = \gamma(1 + 1 + 1) \implies 3\gamma = -2 \implies \gamma = -\frac{2}{3}$$

$x = 0$ を代入

$$-1 = \beta + \gamma \implies \beta - \frac{2}{3} = -1 \implies \beta = -\frac{1}{3}$$

$x = 1$ を代入

$$0 = 2(\alpha + \beta) + \gamma \implies 2\left(\alpha - \frac{1}{3}\right) - \frac{2}{3} = 0 \implies 2\alpha - \frac{4}{3} = 0 \implies \alpha = \frac{2}{3}$$

求めた $\alpha, \beta, \gamma$ を元の式に代入すると、右辺は2次式であり、3つの異なる $x$ の値に対して等式が成り立つため、この等式は恒等式である。以降の積分計算については解法1と同様である。

解説

有理関数の積分における典型的な解法である「部分分数分解」と「$\frac{f'(x)}{f(x)}$ 型の積分」を組み合わせた問題である。被積分関数の分母の次数が分子の次数よりも高い場合、分母を因数分解して部分分数に分解するのが基本方針となる。本問では誘導が与えられているため、それに従って恒等式を立てて係数を決定すればよい。積分計算においては、部分分数分解によって現れた $\frac{2x-1}{x^2-x+1}$ の分子が、分母 $x^2-x+1$ の導関数となっていることに気づくことが重要である。これにより、$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log|f(x)| + C$ の公式を適用できる。また、対数の性質を用いて1つの $\log$ にまとめる変形も頻出である。