数学3 定積分・面積 問題 138 解説

方針・初手

(1) 被積分関数に変数 $x$ が含まれているため、そのままでは微分できない。まずは積分変数 $t$ と無関係な $x$ を積分の外に出すために、式を展開して分離する。その後、積の微分公式と $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$ の公式を用いて微分する。

(2) (1)で求めた導関数 $F'(x)$ の符号を調べ、増減表を作成して最大値と最小値を求める。極値だけでなく、区間の両端における値の比較も忘れないようにする。

解法1

(1)

与えられた関数は次のように変形できる。

$$F(x) = \frac{1}{2}x + \int_0^x t \sin t dt - x \int_0^x \sin t dt$$

両辺を $x$ について微分する。

$$\begin{aligned} F'(x) &= \frac{1}{2} + x \sin x - \left( 1 \cdot \int_0^x \sin t dt + x \cdot \sin x \right) \\ &= \frac{1}{2} + x \sin x - \int_0^x \sin t dt - x \sin x \\ &= \frac{1}{2} - \int_0^x \sin t dt \\ &= \frac{1}{2} - \Bigl[ -\cos t \Bigr]_0^x \\ &= \frac{1}{2} - (-\cos x + \cos 0) \\ &= \frac{1}{2} + \cos x - 1 \\ &= \cos x - \frac{1}{2} \end{aligned}$$

さらに、両辺を $x$ について微分して第2次導関数を求める。

$$F''(x) = -\sin x$$

(2)

(1)より、

$$F'(x) = \cos x - \frac{1}{2}$$

$0 \leqq x \leqq \pi$ において $F'(x) = 0$ となる $x$ は、

$$\cos x = \frac{1}{2}$$

より、

$$x = \frac{\pi}{3}$$

次に、$F(x)$ の具体的な式を求める。(1)の結果を積分すると、積分定数 $C$ を用いて次のように表せる。

$$F(x) = \sin x - \frac{1}{2}x + C$$

ここで、与式から $F(0) = 0$ であるため、

$$\sin 0 - 0 + C = 0$$

よって $C = 0$ となり、$F(x) = \sin x - \frac{1}{2}x$ となる。

$0 \leqq x \leqq \pi$ における $F(x)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{3} & \cdots & \pi \\ \hline F'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline F(x) & 0 & \nearrow & \text{極大} & \searrow & -\frac{\pi}{2} \end{array}$$

$x = \frac{\pi}{3}$ のときの $F(x)$ の値は、

$$F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$$

増減表より、最大値は $x = \frac{\pi}{3}$ のとき $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$ となる。

また、最小値は $F(0) = 0$ と $F(\pi) = -\frac{\pi}{2}$ のうち小さい方である。$-\frac{\pi}{2} < 0$ であるから、最小値は $-\frac{\pi}{2}$ となる。

解説

定積分で表された関数の微分の典型問題である。被積分関数に微分変数 $x$ が含まれている場合、$\int_0^x (t - x) \sin t dt$ をそのまま $x$ を代入して $(x - x)\sin x = 0$ としてしまうのはよくある間違いである。必ず展開して $x$ を積分の外に出してから微分を実行する。

また、(2)で $F(x)$ の値を求める際、元の定積分の式を直接部分積分して計算することも可能だが、(1)で求めた $F'(x)$ を不定積分し、$F(0)=0$ の条件から積分定数を決定して $F(x)$ の式を復元する方が、計算ミスが少なくなるのでおすすめである。

答え

(1) $F'(x) = \cos x - \frac{1}{2}$, $F''(x) = -\sin x$

(2) 最大値: $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$ （$x = \frac{\pi}{3}$ のとき）, 最小値: $-\frac{\pi}{2}$ （$x = \pi$ のとき）