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数学3 定積分・面積問題 163 解説

方針・初手

(1)は与えられた関数 $f(x)$ を微分して $f''(x)$ を計算し、等式の左辺と右辺にそれぞれ代入して一致することを示す。(2)は(1)で示した関係式 $\log f''(x) = -f(x)$ を対数の定義に従って変形し、$e^{-f(x)} = f''(x)$ を導く。これにより被積分関数を書き換え、部分積分法を用いて積分を計算する。

解法1

(1)

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = 2 \log(1+e^x) - x - \log 2$$

これを $x$ で微分する。

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{e^x}{1+e^x} - 1 = \frac{2e^x - (1+e^x)}{1+e^x} = \frac{e^x-1}{e^x+1}$$

さらに微分して第2次導関数を求める。商の微分法を用いる。

$$f''(x) = \frac{e^x(e^x+1) - (e^x-1)e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x} + e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{2e^x}{(e^x+1)^2}$$

ここで、示すべき等式の左辺 $\log f''(x)$ を計算する。

$$\begin{aligned} \log f''(x) &= \log \frac{2e^x}{(e^x+1)^2} \\ &= \log(2e^x) - \log(e^x+1)^2 \\ &= \log 2 + \log e^x - 2 \log(1+e^x) \\ &= x + \log 2 - 2 \log(1+e^x) \end{aligned}$$

一方、右辺 $-f(x)$ は以下のようになる。

$$-f(x) = -\left( 2 \log(1+e^x) - x - \log 2 \right) = x + \log 2 - 2 \log(1+e^x)$$

両者が一致したため、等式 $\log f''(x) = -f(x)$ が成り立つことが示された。

(2)

(1)で示した等式 $\log f''(x) = -f(x)$ より、自然対数の定義から以下の関係が成り立つ。

$$e^{-f(x)} = f''(x)$$

求める定積分を $I$ とおき、この関係式を用いて被積分関数を書き換える。

$$I = \int_0^{\log 2} (x - \log 2) e^{-f(x)} dx = \int_0^{\log 2} (x - \log 2) f''(x) dx$$

部分積分法を用いて計算を進める。

$$\begin{aligned} I &= \left[ (x - \log 2) f'(x) \right]_0^{\log 2} - \int_0^{\log 2} 1 \cdot f'(x) dx \\ &= (\log 2 - \log 2) f'(\log 2) - (0 - \log 2) f'(0) - \left[ f(x) \right]_0^{\log 2} \\ &= \log 2 \cdot f'(0) - \left( f(\log 2) - f(0) \right) \end{aligned}$$

ここで、$f'(0)$、$f(\log 2)$、$f(0)$ の値をそれぞれ計算する。

$$f'(0) = \frac{e^0-1}{e^0+1} = \frac{1-1}{1+1} = 0$$

$$\begin{aligned} f(\log 2) &= 2 \log(1+e^{\log 2}) - \log 2 - \log 2 \\ &= 2 \log(1+2) - 2 \log 2 \\ &= 2 \log 3 - 2 \log 2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} f(0) &= 2 \log(1+e^0) - 0 - \log 2 \\ &= 2 \log(1+1) - \log 2 \\ &= 2 \log 2 - \log 2 \\ &= \log 2 \end{aligned}$$

これらを $I$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} I &= \log 2 \cdot 0 - \left( (2 \log 3 - 2 \log 2) - \log 2 \right) \\ &= - (2 \log 3 - 3 \log 2) \\ &= 3 \log 2 - 2 \log 3 \end{aligned}$$

したがって、求める定積分の値は $3 \log 2 - 2 \log 3$ である。

解説

前問の誘導を正しく読み取り、積分計算に活用する典型的な問題である。(1)は微分の計算と対数法則の確認であり、確実に得点したい箇所である。(2)では、一見複雑な $e^{-f(x)}$ という被積分関数が、(1)の結果を用いることで $f''(x)$ に置き換わることに気づくのが最大のポイントとなる。これにより、多項式と第2次導関数の積の積分という形になり、部分積分が有効であると判断できる。計算の過程では項が多くなるため、$f'(0)$ や $f(\log 2)$ などの各パーツの値を個別に計算してから代入すると、計算ミスを防ぎやすくなる。