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数学3 定積分・面積問題 162 解説

方針・初手

(1) は対数関数と無理関数の合成関数の微分である。合成関数の微分公式に従って丁寧に計算を進める。 (2) は指定された置換 $t = \sqrt{3}\tan\theta$ を用いて定積分を計算する。この置換により、被積分関数の分母の根号が外れる。 (3) は積分区間の上限が $x$ となっているため、両辺の定積分を $x$ の関数として表す。(1)と(2)の結果が誘導となっていることに着目し、(2)と同様の置換積分を用いて左辺を計算し、(1)の結果を用いて右辺の積分を求める。その後、関数の差をとって微分し、増減を調べることで不等式が常に成り立つ条件を決定する。

解法1

(1) 与えられた関数 $f(x) = \log(x + \sqrt{a + x^2})$ を微分する。合成関数の微分法を用いると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{x + \sqrt{a + x^2}} \cdot \left(x + \sqrt{a + x^2}\right)' \\ &= \frac{1}{x + \sqrt{a + x^2}} \cdot \left(1 + \frac{2x}{2\sqrt{a + x^2}}\right) \\ &= \frac{1}{x + \sqrt{a + x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{a + x^2}}\right) \\ &= \frac{1}{x + \sqrt{a + x^2}} \cdot \frac{\sqrt{a + x^2} + x}{\sqrt{a + x^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} \end{aligned}$$

(2) $t = \sqrt{3}\tan\theta$ とおくと、両辺を $\theta$ で微分して、

$$dt = \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta} d\theta$$

積分区間の対応は、$t$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$\tan\theta$ は $0$ から $\frac{1}{\sqrt{3}}$ まで変化するため、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{6}$ まで変化する。被積分関数の分母は、

$$3 + t^2 = 3 + 3\tan^2\theta = 3(1 + \tan^2\theta) = \frac{3}{\cos^2\theta}$$

となるため、定積分 $I$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} I &= \int_{0}^{1} \frac{dt}{\sqrt{(3 + t^2)^3}} \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\left(\sqrt{\frac{3}{\cos^2\theta}}\right)^3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos^3\theta}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3}\cos\theta d\theta \\ &= \left[ \frac{1}{3}\sin\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \end{aligned}$$

(3) 与えられた不等式の左辺と右辺の定積分をそれぞれ $L(x)$、$R(x)$ とおく。左辺 $L(x)$ は(2)と同様に $t = \sqrt{3}\tan\theta$ と置換する。$t = x$ のときの $\theta$ の値を $\alpha$ とすると、$x = \sqrt{3}\tan\alpha$ （$0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{6}$）である。

$$\begin{aligned} L(x) &= \int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \\ &= \int_{0}^{\alpha} \frac{1}{3}\cos\theta d\theta \\ &= \left[ \frac{1}{3}\sin\theta \right]_{0}^{\alpha} = \frac{1}{3}\sin\alpha \end{aligned}$$

ここで、$\tan\alpha = \frac{x}{\sqrt{3}}$ より、

$$\cos^2\alpha = \frac{1}{1+\tan^2\alpha} = \frac{1}{1+\frac{x^2}{3}} = \frac{3}{3+x^2}$$

$0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{6}$ より $\cos\alpha > 0$、$\sin\alpha \geqq 0$ であるから、

$$\sin\alpha = \tan\alpha \cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+x^2}} = \frac{x}{\sqrt{3+x^2}}$$

したがって、左辺は $L(x) = \frac{x}{3\sqrt{3+x^2}}$ となる。

次に、右辺 $R(x)$ は(1)の結果において $a=3$ とした関係式を用いる。$\int \frac{dx}{\sqrt{3+x^2}} = \log(x + \sqrt{3+x^2}) + C$ であるから、

$$\begin{aligned} R(x) &= \int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \\ &= \left[ \log(t + \sqrt{3+t^2}) \right]_{0}^{x} \\ &= \log(x + \sqrt{3+x^2}) - \log\sqrt{3} \end{aligned}$$

不等式 $L(x) \geqq k R(x)$ が $0 \leqq x \leqq 1$ で成り立つための条件を考える。 $g(x) = L(x) - k R(x)$ とおき、$g(x)$ を微分する。微分の際は、定積分で表された元の形 $\frac{d}{dx}\int_0^x f(t)dt = f(x)$ を利用する。

$$\begin{aligned} g'(x) &= \frac{1}{\sqrt{(3+x^2)^3}} - \frac{k}{\sqrt{3+x^2}} \\ &= \frac{1 - k(3+x^2)}{(3+x^2)\sqrt{3+x^2}} \end{aligned}$$

$0 \leqq x \leqq 1$ において分母は常に正であるため、$g'(x)$ の符号は分子 $1 - k(3+x^2)$ の符号と一致する。ここで $3 \leqq 3+x^2 \leqq 4$ であるから、$k$ の値によって場合分けを行う。

(i) $k \leqq \frac{1}{4}$ のとき常に $k(3+x^2) \leqq \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$ となるため、$1 - k(3+x^2) \geqq 0$ である。よって $g'(x) \geqq 0$ となり、$g(x)$ は $0 \leqq x \leqq 1$ で単調増加する。 $g(0) = L(0) - k R(0) = 0$ であるから、$0 \leqq x \leqq 1$ において $g(x) \geqq 0$ が成り立つ。

(ii) $\frac{1}{4} < k < \frac{1}{3}$ のとき $g'(0) = \frac{1-3k}{3\sqrt{3}} > 0$ かつ $g'(1) = \frac{1-4k}{8} < 0$ となる。分子 $1 - k(3+x^2)$ は $x$ について単調に減少するため、$g'(x)$ の符号は正から負へと変わる。したがって、$g(x)$ は増加した後に減少する。 $0 \leqq x \leqq 1$ で $g(x) \geqq 0$ が成り立つためには、端点である $x=0, 1$ において $g(x) \geqq 0$ であればよい。 $g(0) = 0 \geqq 0$ は満たされるため、$g(1) \geqq 0$ が条件となる。

$$\begin{aligned} g(1) &= L(1) - k R(1) \\ &= \frac{1}{6} - k \left( \log(1 + \sqrt{4}) - \log\sqrt{3} \right) \\ &= \frac{1}{6} - k \left( \log 3 - \frac{1}{2}\log 3 \right) \\ &= \frac{1}{6} - \frac{k}{2} \log 3 \geqq 0 \end{aligned}$$

これを解くと、$k \leqq \frac{1}{3 \log 3}$ となる。ここで、$\log 3 = 1.10$ より、$\frac{1}{3 \log 3} = \frac{1}{3 \times 1.10} = \frac{10}{33}$ である。 $\frac{1}{4} = \frac{8.25}{33}$ と $\frac{1}{3} = \frac{11}{33}$ より、$\frac{1}{4} < \frac{10}{33} < \frac{1}{3}$ であるため、この範囲において条件を満たす $k$ は $\frac{1}{4} < k \leqq \frac{10}{33}$ となる。

(iii) $k \geqq \frac{1}{3}$ のとき常に $k(3+x^2) \geqq \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ となるため、$x=0$ のときを除き $1 - k(3+x^2) < 0$ である。よって $g(x)$ は単調減少し、$x > 0$ において $g(x) < g(0) = 0$ となるため不適である。

以上より、求める実数 $k$ の範囲は $k \leqq \frac{10}{33}$ である。

解説

(1)の微分結果は $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}} = \log(x + \sqrt{x^2+a}) + C$ という有用な積分公式の証明となっている。(2)における $t = a\tan\theta$ の置換は、$\sqrt{a^2+x^2}$ を含む定積分の定石である。(3)では、積分区間に変数を含む関数の不等式証明であり、両辺の差を新しい関数として定義し、導関数の符号から増減表をイメージして処理することが求められる。前問までの結果を関数として当てはめ、端点の値を評価する流れは入試数学における典型的な誘導の乗り方である。