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数学3 定積分・面積問題 165 解説

方針・初手

(1)は対数関数の微分の形を見抜き、置換積分を行う。$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log|f(x)| + C$ の公式を利用する。 (2)は定積分と面積の関係を利用する不等式評価の典型問題である。被積分関数が単調減少であることを示し、各区間での長方形の面積と定積分の値を比較する。 (3)は(2)で得られた不等式の各辺について、$\sum$ をとり、(1)の結果を用いて $S_n$ を評価する。その後、はさみうちの原理を用いて極限を求める定石の流れである。

解法1

(1)

求める定積分は、$(\log x)' = \frac{1}{x}$ であることに着目して変形する。

$$\begin{aligned} \int_n^{n^3} \frac{dx}{x \log x} &= \int_n^{n^3} \frac{(\log x)'}{\log x} dx \\ &= \left[ \log|\log x| \right]_n^{n^3} \end{aligned}$$

$n$ は $2$ 以上の自然数であるから、$\log n \ge \log 2 > 0$ であり、絶対値記号はそのまま外すことができる。

$$\begin{aligned} \left[ \log(\log x) \right]_n^{n^3} &= \log(\log n^3) - \log(\log n) \\ &= \log(3 \log n) - \log(\log n) \\ &= \log \left( \frac{3 \log n}{\log n} \right) \\ &= \log 3 \end{aligned}$$

(2)

関数 $f(x) = \frac{1}{x \log x}$ を考える。 $x \ge 2$ において、$x > 0$ かつ $\log x > 0$ であり、$y = x$ も $y = \log x$ も単調増加関数であるから、その積 $x \log x$ も単調増加関数である。したがって、逆数である $f(x)$ は $x \ge 2$ において単調減少関数である。

$k$ を $2$ 以上の自然数とする。区間 $k \le x \le k+1$ において、$f(x)$ は単調減少であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$f(k+1) \le f(x) \le f(k)$$

この区間において等号は常には成立しないため、各辺を $k$ から $k+1$ まで積分すると、大小関係は厳密な不等号になる。

$$\int_k^{k+1} f(k+1) dx < \int_k^{k+1} f(x) dx < \int_k^{k+1} f(k) dx$$

ここで、両端の積分を計算する。

$$\int_k^{k+1} f(k+1) dx = f(k+1) \int_k^{k+1} dx = f(k+1) \cdot 1 = \frac{1}{(k+1) \log (k+1)}$$

$$\int_k^{k+1} f(k) dx = f(k) \int_k^{k+1} dx = f(k) \cdot 1 = \frac{1}{k \log k}$$

よって、中央の積分を戻して代入すると、

$$\frac{1}{(k+1) \log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k \log k}$$

が示された。

(3)

(2)で示した不等式の各辺において、$k = n, n+1, \cdots, n^3-1$ とし、それらの和をとる。

まず、右側の不等式 $\int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k \log k}$ について和をとると、

$$\sum_{k=n}^{n^3-1} \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \sum_{k=n}^{n^3-1} \frac{1}{k \log k}$$

左辺は積分の性質より区間をつなげることができ、右辺は $S_n$ の定義そのものであるから、

$$\int_n^{n^3} \frac{dx}{x \log x} < S_n$$

(1)の結果を用いると、

$$\log 3 < S_n \cdots \text{①}$$

次に、左側の不等式 $\frac{1}{(k+1) \log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x}$ について和をとると、

$$\sum_{k=n}^{n^3-1} \frac{1}{(k+1) \log (k+1)} < \sum_{k=n}^{n^3-1} \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x}$$

右辺は同様に $\int_n^{n^3} \frac{dx}{x \log x}$ となり、(1)より $\log 3$ である。左辺について、$l = k+1$ とおくと、$l$ は $n+1$ から $n^3$ まで変化するので、

$$\begin{aligned} \sum_{k=n}^{n^3-1} \frac{1}{(k+1) \log (k+1)} &= \sum_{l=n+1}^{n^3} \frac{1}{l \log l} \\ &= \sum_{l=n}^{n^3-1} \frac{1}{l \log l} - \frac{1}{n \log n} + \frac{1}{n^3 \log n^3} \\ &= S_n - \frac{1}{n \log n} + \frac{1}{3n^3 \log n} \end{aligned}$$

したがって、不等式は以下のようになる。

$$S_n - \frac{1}{n \log n} + \frac{1}{3n^3 \log n} < \log 3$$

移項して整理すると、

$$S_n < \log 3 + \frac{1}{n \log n} - \frac{1}{3n^3 \log n} \cdots \text{②}$$

①、②より、

$$\log 3 < S_n < \log 3 + \frac{1}{n \log n} - \frac{1}{3n^3 \log n}$$

ここで、$n \to \infty$ のとき、$n \log n \to \infty$、$3n^3 \log n \to \infty$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n \log n} \right) = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3n^3 \log n} \right) = 0$$

となる。したがって、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \log 3$$

解説

区分求積法では直接求めることが難しい級数の極限について、定積分を用いた不等式評価によりはさみうちの原理に持ち込む定石問題である。 (2)の不等式評価は、関数が単調減少であることをきちんと述べてから立式することが重要である。 (3)において、左側の不等式の和をとる際に、項のズレに注意して $S_n$ を作り出す式変形がポイントとなる。シグマの積分による評価（積分判定法）の考え方は理系数学において頻出であるため、確実に押さえておきたい。