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数学3 定積分・面積問題 166 解説

方針・初手

関数 $f(x)$ を微分して増減表を作成し、最大値を求める。 (2) では、(1) で求めた最大値 $M$ と $f(x)$ の大小関係から、囲まれた図形が $-2 \leqq x \leqq 2$ の範囲であることを把握する。面積の計算では、$f(x)$ が偶関数であることによる対称性を利用し、積分区間を $0 \leqq x \leqq 2$ に絞る。対数関数の積分には部分積分法を用い、有理関数の積分には $x = 2\tan\theta$ の置換積分を用いる。

解法1

(1)

$f(x) = \log(x^2+4) - \frac{x^2}{8}$ を微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x}{x^2+4} - \frac{2x}{8} \\ &= \frac{8x - x(x^2+4)}{4(x^2+4)} \\ &= \frac{x(4-x^2)}{4(x^2+4)} \\ &= \frac{-x(x+2)(x-2)}{4(x^2+4)} \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 0, \pm 2$ である。 $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

$f(x)$ は偶関数（$f(-x) = f(x)$）であるから、$f(-2) = f(2)$ である。増減表より、$x = \pm 2$ のとき極大かつ最大となる。

$$\begin{aligned} f(\pm 2) &= \log(2^2+4) - \frac{2^2}{8} \\ &= \log 8 - \frac{1}{2} \\ &= 3\log 2 - \frac{1}{2} \end{aligned}$$

よって、関数 $f(x)$ の最大値は $3\log 2 - \frac{1}{2}$ である。

(2)

(1) より、最大値は $M = 3\log 2 - \frac{1}{2}$ である。直線 $y = M$ と曲線 $y = f(x)$ の共有点の $x$ 座標は $x = \pm 2$ のみであり、$-2 \leqq x \leqq 2$ において $M \geqq f(x)$ が成り立つ。求める図形の面積を $S$ とすると、$f(x)$ が偶関数であることに注意して、以下のように立式できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_{-2}^{2} \{ M - f(x) \} dx \\ &= 2 \int_{0}^{2} \{ M - f(x) \} dx \\ &= 2 \int_{0}^{2} \left\{ \left( 3\log 2 - \frac{1}{2} \right) - \left( \log(x^2+4) - \frac{x^2}{8} \right) \right\} dx \end{aligned}$$

ここで、$\int_{0}^{2} \log(x^2+4) dx$ を部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{2} \log(x^2+4) dx &= \int_{0}^{2} (x)' \log(x^2+4) dx \\ &= \left[ x \log(x^2+4) \right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} x \cdot \frac{2x}{x^2+4} dx \\ &= 2\log 8 - \int_{0}^{2} \frac{2x^2}{x^2+4} dx \\ &= 6\log 2 - \int_{0}^{2} \frac{2(x^2+4) - 8}{x^2+4} dx \\ &= 6\log 2 - \int_{0}^{2} \left( 2 - \frac{8}{x^2+4} \right) dx \\ &= 6\log 2 - \left[ 2x \right]_{0}^{2} + 8 \int_{0}^{2} \frac{1}{x^2+4} dx \\ &= 6\log 2 - 4 + 8 \int_{0}^{2} \frac{1}{x^2+4} dx \end{aligned}$$

残る積分 $\int_{0}^{2} \frac{1}{x^2+4} dx$ について、$x = 2\tan\theta$ とおくと、$dx = \frac{2}{\cos^2\theta} d\theta$ であり、$x$ と $\theta$ の対応は以下のようになる。

$x$	$0 \to 2$
$\theta$	$0 \to \frac{\pi}{4}$

よって、

$$\begin{aligned} \int_{0}^{2} \frac{1}{x^2+4} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{4\tan^2\theta+4} \cdot \frac{2}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{4(1/\cos^2\theta)} \cdot \frac{2}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} d\theta \\ &= \left[ \frac{1}{2}\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\pi}{8} \end{aligned}$$

したがって、対数関数の定積分の値は以下となる。

$$\int_{0}^{2} \log(x^2+4) dx = 6\log 2 - 4 + 8 \cdot \frac{\pi}{8} = 6\log 2 - 4 + \pi$$

以上を用いて面積 $S$ を計算する。

$$\begin{aligned} S &= 2 \int_{0}^{2} \left( 3\log 2 - \frac{1}{2} + \frac{x^2}{8} \right) dx - 2 \int_{0}^{2} \log(x^2+4) dx \\ &= 2 \left[ \left( 3\log 2 - \frac{1}{2} \right)x + \frac{x^3}{24} \right]_{0}^{2} - 2 (6\log 2 - 4 + \pi) \\ &= 2 \left( 6\log 2 - 1 + \frac{1}{3} \right) - 12\log 2 + 8 - 2\pi \\ &= 12\log 2 - \frac{4}{3} - 12\log 2 + 8 - 2\pi \\ &= \frac{20}{3} - 2\pi \end{aligned}$$

解説

(1) は基本的な微分計算と増減表の作成である。(2) の面積計算では、被積分関数に $\log(x^2+a^2)$ が含まれる。この積分は $1 \cdot \log(x^2+a^2)$ とみて部分積分を行うのが定石である。部分積分後に現れる $\frac{x^2}{x^2+a^2}$ の積分は、分子の次数を下げてから $x=a\tan\theta$ の置換積分に持ち込む。これらの基本手順を正確に実行する計算力が問われる。