数学3 定積分・面積 問題 177 解説

方針・初手

三角関数のグラフの交点と、それに囲まれる面積を求める問題である。 まずは $\sin x = k \cos x$ を解いて交点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ の関係を把握する。 面積計算においては、被積分関数である $\sin x - k \cos x$ を三角関数の合成を用いて一つのサイン関数にまとめると、積分計算やその後の代入計算が見通しよく進む。

解法1

(1)

二つの曲線 $y = \sin x$ と $y = k \cos x$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$\sin x = k \cos x$$

の実数解である。 $\cos x = 0$ とすると、上式は $\sin x = 0$ となるが、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ に反するため不適である。したがって $\cos x \neq 0$ であり、両辺を $\cos x$ で割ると

$$\tan x = k$$

となる。$k > 0$ であるから $\tan x > 0$ であり、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ における解は第1象限と第3象限に1つずつ存在する。 $0 \leqq \alpha < \beta \leqq 2\pi$ であるから、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $\pi < \beta < \frac{3}{2}\pi$ であり、タンジェントの周期性から

$$\beta = \alpha + \pi$$

となる。また、交点の $x$ 座標が $\alpha$ であるから $\tan \alpha = k$ である。 したがって、$k$ と $\beta$ は次のように表される。

$$k = \tan \alpha, \quad \beta = \alpha + \pi$$

(2)

$\alpha \leqq x \leqq \beta$ の範囲における図形の面積 $S$ を求める。 被積分関数 $\sin x - k \cos x$ に対して、三角関数の合成を行う。(1) より $k = \tan \alpha$ であるから、

$$\sin x - k \cos x = \sqrt{1+k^2} \left( \frac{1}{\sqrt{1+k^2}} \sin x - \frac{k}{\sqrt{1+k^2}} \cos x \right)$$

ここで、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ および $\tan \alpha = k > 0$ を満たす直角三角形を考えると、$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$、$\sin \alpha = \frac{k}{\sqrt{1+k^2}}$ となる。したがって加法定理より、

$$\sin x - k \cos x = \sqrt{1+k^2} ( \sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha ) = \sqrt{1+k^2} \sin(x - \alpha)$$

$\alpha \leqq x \leqq \beta$ すなわち $\alpha \leqq x \leqq \alpha + \pi$ において、$0 \leqq x - \alpha \leqq \pi$ であるから $\sin(x - \alpha) \geqq 0$ となり、この区間では $\sin x \geqq k \cos x$ である。 よって、求める面積 $S$ は

$$\begin{aligned} S &= \int_{\alpha}^{\beta} (\sin x - k \cos x) dx \\ &= \int_{\alpha}^{\alpha+\pi} \sqrt{1+k^2} \sin(x - \alpha) dx \\ &= \sqrt{1+k^2} \Big[ -\cos(x - \alpha) \Big]_{\alpha}^{\alpha+\pi} \\ &= \sqrt{1+k^2} \{ -\cos \pi - (-\cos 0) \} \\ &= \sqrt{1+k^2} (1 + 1) \\ &= 2\sqrt{1+k^2} \end{aligned}$$

(3)

$S = 4$ より、(2) の結果から

$$2\sqrt{1+k^2} = 4$$

$$1+k^2 = 4$$

$k > 0$ より $k = \sqrt{3}$ となる。 このとき、$\tan \alpha = \sqrt{3}$ かつ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\alpha = \frac{\pi}{3}$ である。また $\beta = \frac{4\pi}{3}$ である。 $\alpha \leqq x \leqq \theta$ の範囲で囲まれた面積が $2$ であり、被積分関数は $x = \theta$ まで常に正であるから、$S = 4$ の半分となる面積の式を立てる。(2) で導いた合成の式に $\alpha = \frac{\pi}{3}$, $k = \sqrt{3}$ を代入すると被積分関数は $2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ となる。

$$\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\theta} (\sin x - \sqrt{3} \cos x) dx &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\theta} 2 \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx \\ &= 2 \Big[ -\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \Big]_{\frac{\pi}{3}}^{\theta} \\ &= -2 \cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) + 2 \cos 0 \\ &= 2 - 2 \cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) \end{aligned}$$

これが $2$ と等しいので、

$$2 - 2 \cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 2$$

$$\cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 0$$

ここで、$\theta$ は面積が正となる範囲に含まれることから $\alpha \leqq \theta \leqq \beta$ すなわち $\frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \frac{4\pi}{3}$ の範囲で考えるのが自然である。したがって $0 \leqq \theta - \frac{\pi}{3} \leqq \pi$ であり、これを満たすのは

$$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$$

これを解いて、

$$\theta = \frac{5\pi}{6}$$

解説

交点の $x$ 座標 $\alpha$ を用いて面積を計算するタイプの典型問題である。 (2)の定積分において、$\sin x$ と $k \cos x$ をそのまま別々に積分して後から $\alpha$ や $\beta$ を代入しても解くことはできる。しかし、交点の方程式 $\sin x = k \cos x$ の関係性を利用して $\cos \alpha, \sin \alpha$ に変換する手間がかかり、計算ミスを誘発しやすい。 本解答のように、あらかじめ被積分関数を $\sqrt{1+k^2}\sin(x - \alpha)$ と合成しておくことで、積分計算が極めてシンプルになる。この手法は交点が三角関数の形をとる積分において非常に強力な武器となるため、ぜひ習得しておきたい。

答え

(1)

$k = \tan \alpha$, $\beta = \alpha + \pi$

(2)

$S = 2\sqrt{1+k^2}$

(3)

$\theta = \frac{5\pi}{6}$