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数学3 定積分・面積問題 179 解説

方針・初手

(1) は、交点の座標の条件から $\sin \alpha$ と $\cos \alpha$ の関係式を作り、三角関数の相互関係を用いてそれぞれの値を $k$ で表す。
(2) は、各曲線の概形から積分区間と上下関係を正しく把握し、定積分を計算して面積を求める。(1) の結果を代入して整理する。
(3) は、(2) で得られた式が $k$ と $\frac{1}{k}$ の対称式になっていることに着目し、$t = k + \frac{1}{k}$ と置換する。相加平均と相乗平均の大小関係から $t$ の変域を求め、関数の最大値を考える。

解法1

(1)

$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標が $\alpha$ であるから、

$$k \cos \alpha = \frac{1}{k} \sin \alpha$$

が成り立つ。

$k>0$ であり、$0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2}$ である。仮に $\cos \alpha = 0$ とすると、上式から $\sin \alpha = 0$ となるが、これは $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ に矛盾するため $\cos \alpha \neq 0$ である。両辺を $\cos \alpha$ で割ると、

$$\tan \alpha = k^2$$

となる。三角関数の相互関係 $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ より、

$$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + k^4$$

$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{k^4 + 1}$$

$k>0$ より $k^2 > 0$ であるから、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ となり、$\cos \alpha > 0$ である。したがって、

$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{k^4 + 1}}$$

また、$\sin \alpha = \tan \alpha \cos \alpha$ であるから、

$$\sin \alpha = k^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{k^4 + 1}} = \frac{k^2}{\sqrt{k^4 + 1}}$$

(2)

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$C_1$ は単調に減少し、$C_2$ は単調に増加する。 $x=0$ のとき $C_1$ は $y=k>0$, $C_2$ は $y=0$ であり、$x=\frac{\pi}{2}$ のとき $C_1$ は $y=0$, $C_2$ は $y=\frac{1}{k}>0$ である。したがって、$x$ 軸および $2$ つの曲線 $C_1, C_2$ で囲まれた図形は、$0 \leqq x \leqq \alpha$ の範囲では $C_2$ と $x$ 軸に囲まれた部分、$\alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲では $C_1$ と $x$ 軸に囲まれた部分となる。よって、面積 $S(k)$ は

$$S(k) = \int_0^\alpha \frac{1}{k} \sin x \, dx + \int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} k \cos x \, dx$$

となる。定積分を計算すると、

$$\int_0^\alpha \frac{1}{k} \sin x \, dx = \left[ -\frac{1}{k} \cos x \right]_0^\alpha = -\frac{1}{k} \cos \alpha + \frac{1}{k}$$

$$\int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} k \cos x \, dx = \left[ k \sin x \right]_\alpha^{\frac{\pi}{2}} = k - k \sin \alpha$$

これらを足し合わせると、

$$S(k) = \frac{1}{k} - \frac{1}{k} \cos \alpha + k - k \sin \alpha$$

(1) の結果を代入すると、

$$S(k) = k + \frac{1}{k} - \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{\sqrt{k^4 + 1}} - k \cdot \frac{k^2}{\sqrt{k^4 + 1}}$$

$$S(k) = k + \frac{1}{k} - \frac{1 + k^4}{k\sqrt{k^4 + 1}}$$

$$S(k) = k + \frac{1}{k} - \frac{\sqrt{k^4 + 1}}{k}$$

(3) のために変形しておくと、

$$S(k) = k + \frac{1}{k} - \sqrt{\frac{k^4 + 1}{k^2}}$$

$$S(k) = k + \frac{1}{k} - \sqrt{k^2 + \frac{1}{k^2}}$$

(3)

(2) で求めた $S(k)$ に対して、$t = k + \frac{1}{k}$ とおく。 $k>0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$t = k + \frac{1}{k} \geqq 2 \sqrt{k \cdot \frac{1}{k}} = 2$$

等号が成立するのは $k = \frac{1}{k}$ すなわち $k^2 = 1$、$k>0$ より $k=1$ のときである。また、両辺を $2$ 乗して

$$t^2 = k^2 + \frac{1}{k^2} + 2$$

より、$k^2 + \frac{1}{k^2} = t^2 - 2$ である。これを用いて $S(k)$ を $t$ の式で表すと、

$$S(k) = t - \sqrt{t^2 - 2} \quad (t \geqq 2)$$

分子の有理化を行うと、

$$t - \sqrt{t^2 - 2} = \frac{(t - \sqrt{t^2 - 2})(t + \sqrt{t^2 - 2})}{t + \sqrt{t^2 - 2}} = \frac{2}{t + \sqrt{t^2 - 2}}$$

$t \geqq 2$ において、$t$ は単調増加であり、$\sqrt{t^2 - 2}$ も単調増加であるから、分母 $t + \sqrt{t^2 - 2}$ は単調増加する。したがって、分数全体としては $t$ が最小値 $2$ をとるときに最大値をとる。その最大値は、

$$\frac{2}{2 + \sqrt{2^2 - 2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$$

分母を有理化して、

$$\frac{2(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = 2 - \sqrt{2}$$

よって、$S(k)$ の最大値は $2 - \sqrt{2}$ である。

解説

(1) は、交点の $x$ 座標 $\alpha$ についての方程式から $\tan \alpha$ を求め、三角関数の相互関係を用いて $\sin \alpha, \cos \alpha$ を求める定石の処理である。
(2) における面積計算では、(1) で求めた値の代入後、式を $k + \frac{1}{k}$ の形が作り出せるように整理できるかがポイントとなる。
(3) は、$k$ と $\frac{1}{k}$ の対称式であることに着目して $t = k + \frac{1}{k}$ と置換する典型問題である。相加平均と相乗平均の大小関係による $t$ の変域の確認は必須である。最大値の求値では、微分を用いて増減を調べることも可能だが、分子の有理化を行うことで単調性が容易に分かり、計算量を減らすことができる。