数学3 定積分・面積 問題 180 解説

方針・初手

定積分を含む漸化式の問題である。積分区間が定数から定数までであるため、定積分 $\int_0^1 f_{n-1}(t)e^{-t}dt$ は $x$ に無関係な定数となる。この定積分を $a_{n-1}$ と置き換えることで、関数 $f_n(x)$ の漸化式を考察しやすくなる。

解法1

(1)

与えられた漸化式より、

$$f_2(x) = x + \frac{e}{2} \int_0^1 f_1(t)e^{x-t}dt$$

$f_1(x)=x$ であるから、

$$f_2(x) = x + \frac{e}{2} \int_0^1 t e^{x-t}dt$$

$$= x + \frac{e}{2} e^x \int_0^1 t e^{-t}dt$$

ここで、部分積分法を用いると、

$$\int_0^1 t e^{-t}dt = \left[ -t e^{-t} \right]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-t})dt$$

$$= -e^{-1} + \left[ -e^{-t} \right]_0^1$$

$$= -e^{-1} - e^{-1} + 1$$

$$= 1 - \frac{2}{e}$$

したがって、

$$f_2(x) = x + \frac{e}{2} e^x \left( 1 - \frac{2}{e} \right) = x + \frac{e-2}{2} e^x$$

(2)

漸化式より、$n \geqq 2$ のとき、

$$f_n(x) = x + \frac{e}{2} \int_0^1 f_{n-1}(t)e^{x-t}dt$$

$$= x + \frac{e}{2} e^x \int_0^1 f_{n-1}(t)e^{-t}dt$$

$a_n = \int_0^1 f_n(t)e^{-t}dt$ であるから、

$$f_n(x) = x + \frac{e}{2} e^x a_{n-1}$$

これを $a_n$ の定義式に代入すると、

$$a_n = \int_0^1 \left( t + \frac{e}{2} e^t a_{n-1} \right) e^{-t}dt$$

$$= \int_0^1 \left( t e^{-t} + \frac{e}{2} a_{n-1} \right) dt$$

$$= \int_0^1 t e^{-t} dt + \frac{e}{2} a_{n-1} \int_0^1 dt$$

(1) の計算より $\int_0^1 t e^{-t}dt = 1 - \frac{2}{e}$ であり、$\int_0^1 dt = 1$ であるから、

$$a_n = 1 - \frac{2}{e} + \frac{e}{2} a_{n-1}$$

整理して、

$$a_n = \frac{e}{2} a_{n-1} + 1 - \frac{2}{e}$$

(3)

(2) で求めた漸化式は、特性方程式 $\alpha = \frac{e}{2}\alpha + 1 - \frac{2}{e}$ を解くと、

$$\alpha \left( 1 - \frac{e}{2} \right) = \frac{e-2}{e}$$

$$\alpha \cdot \frac{2-e}{2} = \frac{e-2}{e}$$

$$\alpha = -\frac{2}{e}$$

となるので、次のように変形できる。

$$a_n + \frac{2}{e} = \frac{e}{2} \left( a_{n-1} + \frac{2}{e} \right)$$

したがって、数列 $\left\{ a_n + \frac{2}{e} \right\}$ は公比 $\frac{e}{2}$ の等比数列である。

また、$a_1$ は定義より、

$$a_1 = \int_0^1 f_1(t)e^{-t}dt = \int_0^1 t e^{-t}dt = 1 - \frac{2}{e}$$

初項は、

$$a_1 + \frac{2}{e} = 1 - \frac{2}{e} + \frac{2}{e} = 1$$

よって、一般項は、

$$a_n + \frac{2}{e} = 1 \cdot \left( \frac{e}{2} \right)^{n-1}$$

$$a_n = \left( \frac{e}{2} \right)^{n-1} - \frac{2}{e}$$

これを (2) で導いた $f_n(x) = x + \frac{e}{2} e^x a_{n-1} \quad (n \geqq 2)$ に代入して、$f_n(x)$ を求める。

$$f_n(x) = x + \frac{e}{2} e^x \left\{ \left( \frac{e}{2} \right)^{n-2} - \frac{2}{e} \right\}$$

$$= x + e^x \left( \frac{e}{2} \right)^{n-1} - e^x$$

$$= x + \left\{ \left( \frac{e}{2} \right)^{n-1} - 1 \right\} e^x$$

この式において $n=1$ とすると、

$$x + \left\{ \left( \frac{e}{2} \right)^{0} - 1 \right\} e^x = x$$

となり、$f_1(x) = x$ を満たす。

よって、すべての自然数 $n$ について成り立つ。

解説

積分方程式と漸化式が融合した典型的な問題である。被積分関数の中に $x$ と $t$ が混在している場合、$x$ を積分の外に出して、定積分部分を定数とおくのが基本手順となる。本問では (2) で誘導がついているため、それに従えば自然と解答にたどり着くことができる。(3) で求めた $f_n(x)$ の式が $n=1$ のときにも成り立つことの確認を忘れないようにしたい。

答え

(1)

$$f_2(x) = x + \frac{e-2}{2} e^x$$

(2)

$$a_n = \frac{e}{2} a_{n-1} + 1 - \frac{2}{e}$$

(3)

$$f_n(x) = x + \left\{ \left( \frac{e}{2} \right)^{n-1} - 1 \right\} e^x$$