数学3 定積分・面積 問題 182 解説

方針・初手

(1) 対数関数を含む積分であるため、部分積分法を用いる。$x$ を微分形 $(x^2 / 2)'$ と見なして部分積分を繰り返し実行する方針をとる。

(2) 分母が $\sin^2 x$ と $\cos^2 x$ の同次式となっているため、分母分子を $\cos^2 x$ で割ることで $\tan x$ の式を作り、$t = \tan x$ と置換する定石を用いる。その後、現れる有理関数の積分は $t = \sqrt{3} \tan \theta$ と再置換して処理する。

解法1

(1)

部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int_1^e x(\log x)^2 dx &= \int_1^e \left(\frac{x^2}{2}\right)' (\log x)^2 dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2} (\log x)^2 \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= \frac{e^2}{2} - \int_1^e x \log x dx \end{aligned}$$

さらに部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} \frac{e^2}{2} - \int_1^e x \log x dx &= \frac{e^2}{2} - \int_1^e \left(\frac{x^2}{2}\right)' \log x dx \\ &= \frac{e^2}{2} - \left( \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx \right) \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2} \int_1^e x dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^e \\ &= \frac{e^2 - 1}{4} \end{aligned}$$

(2)

被積分関数の分母と分子を $\cos^2 x$ で割る。

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\tan^2 x + 3} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} dx$$

ここで、$t = \tan x$ とおく。

$$dt = \frac{1}{\cos^2 x} dx$$

$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。

$x : 0 \to \frac{\pi}{4}$ $t : 0 \to 1$

したがって、積分は次のように変形できる。

$$\int_0^1 \frac{1}{t^2 + 3} dt$$

次に、$t = \sqrt{3} \tan \theta$ とおく。

$$dt = \frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta} d\theta$$

$t$ と $\theta$ の対応は以下のようになる。

$t : 0 \to 1$ $\theta : 0 \to \frac{\pi}{6}$

これを用いて積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{t^2 + 3} dt &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3\tan^2 \theta + 3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{3(1 + \tan^2 \theta)} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos^2 \theta}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3}}{3} d\theta \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \left[ \theta \right]_0^{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\pi}{6} \\ &= \frac{\sqrt{3}\pi}{18} \end{aligned}$$

解説

(1) について、多項式と対数関数の積の積分は、多項式側を積分し、対数関数側を微分する方向で部分積分を行うのが基本である。今回は $(\log x)^2$ のため、部分積分を2回繰り返すことで被積分関数が単純な多項式へと帰着する。計算ミスを防ぐため、括弧を用いて符号の扱いを慎重に行うことが求められる。

(2) について、三角関数の分数式で、分母が $\sin^2 x$ と $\cos^2 x$ の式である場合は、$\cos^2 x$ で割って $\tan x$ の形を作り出すのが典型的な解法である。これにより $dt = \frac{dx}{\cos^2 x}$ の関係を利用して、有理関数の積分に帰着させることができる。その後に現れる $t^2 + a^2$ を分母に持つ積分は、$t = a \tan \theta$ と置換する標準的な処理を行えばよい。

答え

(1)

$$\frac{e^2 - 1}{4}$$

(2)

$$\frac{\sqrt{3}\pi}{18}$$