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数学3 定積分・面積問題 183 解説

方針・初手

(1) については、定積分で表された関数の微分の基本手順に従う。被積分関数の中に積分変数 $t$ 以外の文字 $x$ が含まれている場合、そのままでは $x$ で微分できない。積分において $x$ は定数扱いとなるため、式を展開し $x$ を積分の外にくくり出してから、積の微分法を用いて微分する。

(2) については、(1) で得られた関係式を利用する。定積分 $\int_a^x f(t) dt$ を $x$ で微分すると $f(x)$ になる性質を利用し、式をさらに $x$ で微分して $f(x)$ を求める。

解法1

(1)

与えられた等式

$$g(x) = \int_0^x (x-t)f(t) dt$$

の右辺を展開すると、

$$g(x) = \int_0^x (x f(t) - t f(t)) dt$$

$$g(x) = \int_0^x x f(t) dt - \int_0^x t f(t) dt$$

となる。積分変数は $t$ であるから、$x$ は積分の外に出すことができ、

$$g(x) = x \int_0^x f(t) dt - \int_0^x t f(t) dt$$

と表せる。この両辺を $x$ について微分する。右辺第1項は $x$ と $\int_0^x f(t) dt$ の積であるから積の微分法を用い、右辺第2項は公式 $\frac{d}{dx}\int_a^x h(t)dt = h(x)$ を用いると、

$$g'(x) = (x)' \int_0^x f(t) dt + x \left( \int_0^x f(t) dt \right)' - \left( \int_0^x t f(t) dt \right)'$$

$$g'(x) = 1 \cdot \int_0^x f(t) dt + x f(x) - x f(x)$$

$$g'(x) = \int_0^x f(t) dt$$

したがって、題意は示された。

(2)

与えられた $g(x) = \sin x \cos x - x$ の両辺を $x$ について微分する。積の微分法より、

$$g'(x) = (\sin x)' \cos x + \sin x (\cos x)' - (x)'$$

$$g'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) - 1$$

$$g'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x - 1$$

ここで、三角関数の2倍角の公式 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ を用いると、

$$g'(x) = \cos 2x - 1$$

となる。

一方、(1) の結果から $g'(x) = \int_0^x f(t) dt$ であるから、

$$\int_0^x f(t) dt = \cos 2x - 1$$

が成り立つ。この両辺をさらに $x$ について微分すると、

$$\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt = \frac{d}{dx} (\cos 2x - 1)$$

$$f(x) = -\sin 2x \cdot (2x)'$$

$$f(x) = -2\sin 2x$$

解法2

(2)の別解

$g'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x - 1$ まで求めた後、2倍角の公式を用いずにそのまま微分して $f(x)$ を求める。

(1) より $\int_0^x f(t) dt = \cos^2 x - \sin^2 x - 1$ であるから、両辺を $x$ について微分すると、

$$f(x) = (\cos^2 x)' - (\sin^2 x)' - (1)'$$

合成関数の微分法を用いて計算すると、

$$f(x) = 2\cos x \cdot (\cos x)' - 2\sin x \cdot (\sin x)'$$

$$f(x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) - 2\sin x \cdot (\cos x)$$

$$f(x) = -2\sin x \cos x - 2\sin x \cos x$$

$$f(x) = -4\sin x \cos x$$

2倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いて変形すると、

$$f(x) = -2(2\sin x \cos x) = -2\sin 2x$$

解説

定積分で表された関数の微分の非常に典型的な問題である。 $\int_a^x (x-t)f(t) dt$ を微分すると $\int_a^x f(t) dt$ になるという結果は、大学入試において頻出の事実である。しかし、解答を作成する際は結果だけを書くのではなく、積分変数と無関係な文字 $x$ を積分の外に出してから積の微分法を用いるという過程を必ず記述しなければならない。

(2) は、(1) の結果を利用し、等式の両辺をもう一度 $x$ で微分することで未知の関数 $f(x)$ を導出する。三角関数の微分の計算において、2倍角の公式などを用いて式をある程度整理してから微分した方が計算ミスを防ぎやすいが、そのまま合成関数の微分として処理しても正答にたどり着くことができる。