数学3 定積分・面積 問題 191 解説

方針・初手

(1) は $f(x)=g(x)$ の方程式を解く。定義域 $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ に注意する。

(2) は導関数 $f'(x)$ を計算し、微分の定義に従って接線の方程式を立てる。

(3) は被積分関数 $x f(x)g(x)$ に部分積分を適用する。$f'(x)$ を計算した結果が $f(x)g(x)$ と関連していることに気づくのが鍵となる。

解法1

(1)

曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の交点の $x$ 座標は、$f(x) = g(x)$ を満たす。

$$\frac{1}{\cos x} = 2\tan x$$

$$\frac{1}{\cos x} = \frac{2\sin x}{\cos x}$$

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ において $\cos x > 0$ であるから、両辺に $\cos x$ を掛けて整理すると、以下のようになる。

$$2\sin x = 1$$

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

定義域 $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ を満たす解は $x = \frac{\pi}{6}$ である。したがって、$a = \frac{\pi}{6}$ となる。

このとき、$y$ 座標 $b$ は以下のようになる。

$$b = f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

よって、交点の座標は $(a, b) = \left( \frac{\pi}{6}, \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$ である。

(2)

$f(x) = (\cos x)^{-1}$ を微分する。

$$f'(x) = -(\cos x)^{-2} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$$

$x = \frac{\pi}{6}$ における微分係数 $f'\left(\frac{\pi}{6}\right)$ を求める。

$$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\cos^2 \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3}$$

求める接線は、点 $\left( \frac{\pi}{6}, \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$ を通り、傾きが $\frac{2}{3}$ の直線であるから、その方程式は以下のようになる。

$$y - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3}\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$$

$$y = \frac{2}{3}x - \frac{\pi}{9} + \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

(3)

(2) で求めた $f'(x)$ の式を変形すると、以下の関係が成り立つ。

$$f'(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot 2\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{2} f(x)g(x)$$

したがって、$f(x)g(x) = 2f'(x)$ である。これを踏まえて、与えられた定積分に部分積分法を適用する。$a = \frac{\pi}{6}$ である。

$$\int_0^a x f(x) g(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{6}} x \cdot 2f'(x) dx$$

$$= \Big[ 2x f(x) \Big]_0^{\frac{\pi}{6}} - \int_0^{\frac{\pi}{6}} 2f(x) dx$$

$$= 2 \cdot \frac{\pi}{6} \cdot f\left(\frac{\pi}{6}\right) - 0 - 2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\cos x} dx$$

$$= \frac{\pi}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} - 2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx$$

$$= \frac{2\sqrt{3}\pi}{9} - 2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx$$

右辺の積分について、$t = \sin x$ とおく。

$dx = \frac{1}{\cos x} dt$ であり、積分区間は $x$ が $0 \to \frac{\pi}{6}$ のとき、$t$ は $0 \to \frac{1}{2}$ となる。

$$\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - t^2} dt$$

$$= \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t} \right) dt$$

$$= \frac{1}{2} \Big[ \log|1+t| - \log|1-t| \Big]_0^{\frac{1}{2}}$$

$$= \frac{1}{2} \Big( \log\frac{3}{2} - \log\frac{1}{2} \Big)$$

$$= \frac{1}{2} \log 3$$

これを元の式に代入する。

$$\int_0^a x f(x) g(x) dx = \frac{2\sqrt{3}\pi}{9} - 2 \left( \frac{1}{2} \log 3 \right) = \frac{2\sqrt{3}\pi}{9} - \log 3$$

解説

(1) は基本的な三角方程式の解法である。

(2) の微分の計算結果が、(3) の積分計算における重要なヒントとなっている。(3) の被積分関数 $f(x)g(x)$ を眺め、$f'(x)$ との関連に気づけば、自然と部分積分の形が見えてくる。

$\int \frac{1}{\cos x} dx$ の積分は、分母分子に $\cos x$ を掛けて置換積分を行う手法が定石である。本解答ではその手順を丁寧に記述している。

答え

(1)

$$(a, b) = \left( \frac{\pi}{6}, \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$$

(2)

$$y = \frac{2}{3}x - \frac{\pi}{9} + \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

(3)

$$\frac{2\sqrt{3}\pi}{9} - \log 3$$