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数学3 定積分・面積問題 190 解説

方針・初手

(1) 指数部分に対数が含まれている関数の積分である。対数の性質を用いて被積分関数を変形するか、$t = \log x$ と置換することで見通しが良くなる。

(2) 被積分関数を $\frac{x}{(x^2+1)^2}$ と $\frac{1}{(x^2+1)^2}$ の2つの項に分けて考える。前者は $\frac{f'(x)}{(f(x))^2}$ の形であるためすぐに積分可能である。後者は $x = \tan \theta$ と置換する典型的な積分である。

解法1

(1)

$t = \log x$ とおくと、$x = e^t$ より

$$dx = e^t dt$$

また、$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。

$x : 1 \to e$ のとき、$t : 0 \to 1$

したがって、与えられた定積分は次のように書き換えられる。

$$\begin{aligned} \int_1^e 5^{\log x} dx &= \int_0^1 5^t e^t dt \\ &= \int_0^1 (5e)^t dt \end{aligned}$$

これを積分して計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 (5e)^t dt &= \left[ \frac{(5e)^t}{\log(5e)} \right]_0^1 \\ &= \frac{5e - 1}{\log 5 + \log e} \\ &= \frac{5e - 1}{\log 5 + 1} \end{aligned}$$

(2)

与式を2つの積分に分けて計算する。

$$\int_0^1 \frac{x+1}{(x^2+1)^2} dx = \int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^2} dx + \int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$$

第1項について、微分の逆算を利用する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^2} dx &= \frac{1}{2} \int_0^1 (x^2+1)'(x^2+1)^{-2} dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ -(x^2+1)^{-1} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right) \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$

第2項について、$x = \tan \theta$ とおく。

$$dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$$

$x$ と $\theta$ の対応は以下のようになる。

$x : 0 \to 1$ のとき、$\theta : 0 \to \frac{\pi}{4}$

また、$x^2+1 = \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ であるから、

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^2} dx &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^4 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta \\ &= \left[ \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \end{aligned}$$

以上より、求める定積分は

$$\frac{1}{4} + \left( \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}$$

解法2

(1) 対数の性質を利用した別解

対数の性質 $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ （底の変換公式などから導かれる）を用いる。 $y = 5^{\log x}$ の両辺の自然対数をとると

$$\log y = \log(5^{\log x}) = \log x \cdot \log 5 = \log(x^{\log 5})$$

ゆえに、$5^{\log x} = x^{\log 5}$ である。これを用いて与式を変形すると、$x^p$ の積分に帰着する。

$$\begin{aligned} \int_1^e 5^{\log x} dx &= \int_1^e x^{\log 5} dx \\ &= \left[ \frac{x^{\log 5 + 1}}{\log 5 + 1} \right]_1^e \\ &= \frac{e^{\log 5 + 1} - 1}{\log 5 + 1} \end{aligned}$$

ここで、$e^{\log 5 + 1} = e^{\log 5} \cdot e^1 = 5e$ であるから

$$\frac{e^{\log 5 + 1} - 1}{\log 5 + 1} = \frac{5e - 1}{\log 5 + 1}$$

解説

(1) は指数の肩に対数がある関数の処理が問われている。解法1のように $t = \log x$ の置換を行うのが自然で発想しやすい。解法2のように $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ という関係式を知っていれば、多項式関数の積分と同様に処理できる。

(2) は分数関数の積分の基本形である。分子の次数が分母の次数より低く、分母が因数分解できない2次式の累乗となっている場合は、分子の $x$ の項（微分の形を補える部分）と定数項（$\tan \theta$ の置換を用いる部分）に分割するのが定石である。半角の公式を用いた三角関数の積分も確実に計算できるようにしておきたい。