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数学3 定積分・面積問題 193 解説

方針・初手

本問は双曲線関数の性質およびそれを用いた媒介変数表示に関する典型問題である。 (1)は導関数を用いて増減と凹凸を調べる。(2)はそのまま代入して平方完成し、絶対値の符号に注意して根号を外す。(3)は求める面積を図形的に「直角三角形の面積から双曲線の辺縁部分の面積を引く」形として捉え、(2)の置換積分を用いて計算する。

解法1

(1)

与えられた関数を $t$ で微分する。

$$\frac{dx}{dt} = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$$

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$$

$t \geqq 0$ において $e^t \geqq 1 \geqq e^{-t}$ であるから、$e^t - e^{-t} \geqq 0$ となり、$\frac{dx}{dt} \geqq 0$ である（等号成立は $t=0$ のときのみ）。また、常に $e^t > 0, e^{-t} > 0$ であるから、$\frac{d^2x}{dt^2} > 0$ である。したがって、$x$ は単調に増加し、そのグラフは下に凸である。 $t=0$ のとき、$x=1, \frac{dx}{dt}=0$ であり、$\lim_{t \to \infty} x = \infty$ である。これらより、グラフは点 $(0, 1)$ を頂点とし、$t \geqq 0$ において単調に増加する下に凸な半直線状の曲線となる（図示は省略するが増減表に基づいて描く）。

(2)

$x = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$ を $\sqrt{x^2 - 1}$ に代入して整理する。

$$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\left(\frac{e^t + e^{-t}}{2}\right)^2 - 1}$$

$$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\frac{e^{2t} + 2 + e^{-2t} - 4}{4}}$$

$$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\frac{e^{2t} - 2 + e^{-2t}}{4}}$$

$$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\left(\frac{e^t - e^{-t}}{2}\right)^2}$$

$$\sqrt{x^2 - 1} = \left| \frac{e^t - e^{-t}}{2} \right|$$

ここで、$t \geqq 0$ のとき $e^t \geqq e^{-t}$ であるから、$\frac{e^t - e^{-t}}{2} \geqq 0$ である。したがって、絶対値記号はそのまま外すことができ、次のように表される。

$$\sqrt{x^2 - 1} = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$$

(3)

点 $\text{P}(a, b)$ は双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ 上の第1象限の点であるから、$a > 1$ かつ $b > 0$ であり、$b = \sqrt{a^2 - 1}$ である。 $a = \frac{e^s + e^{-s}}{2}$ ($s > 0$) であるから、(2)の結果より、点 $\text{P}$ の $y$ 座標 $b$ は次のように表される。

$$b = \frac{e^s - e^{-s}}{2}$$

求める面積 $S$ は、線分 $\text{OP}$、双曲線 $y = \sqrt{x^2 - 1}$、および $x$ 軸で囲まれた領域の面積である。これは、底辺が $a$、高さが $b$ の直角三角形の面積から、曲線 $y = \sqrt{x^2 - 1}$ と $x$ 軸および直線 $x = a$ で囲まれた面積を引いたものに等しい。

$$S = \frac{1}{2}ab - \int_1^a \sqrt{x^2 - 1} dx$$

右辺の定積分を、(2)の誘導に従って $x = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$ と置換して計算する。 $dx = \frac{e^t - e^{-t}}{2} dt$ であり、積分区間 $x : 1 \to a$ は $t : 0 \to s$ に対応する。

$$\int_1^a \sqrt{x^2 - 1} dx = \int_0^s \frac{e^t - e^{-t}}{2} \cdot \frac{e^t - e^{-t}}{2} dt$$

$$\int_1^a \sqrt{x^2 - 1} dx = \frac{1}{4} \int_0^s (e^{2t} - 2 + e^{-2t}) dt$$

$$\int_1^a \sqrt{x^2 - 1} dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2}e^{2t} - 2t - \frac{1}{2}e^{-2t} \right]_0^s$$

$$\int_1^a \sqrt{x^2 - 1} dx = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2}e^{2s} - 2s - \frac{1}{2}e^{-2s} - \left( \frac{1}{2} - 0 - \frac{1}{2} \right) \right)$$

$$\int_1^a \sqrt{x^2 - 1} dx = \frac{e^{2s} - e^{-2s}}{8} - \frac{s}{2}$$

一方、直角三角形の面積 $\frac{1}{2}ab$ は次のように計算できる。

$$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^s + e^{-s}}{2} \cdot \frac{e^s - e^{-s}}{2} = \frac{e^{2s} - e^{-2s}}{8}$$

したがって、求める面積 $S$ は以下のようになる。

$$S = \frac{e^{2s} - e^{-2s}}{8} - \left( \frac{e^{2s} - e^{-2s}}{8} - \frac{s}{2} \right) = \frac{s}{2}$$

解説

双曲線の媒介変数表示に関する頻出テーマである。円 $x^2 + y^2 = 1$ の面積を求める際に $x = \cos \theta, y = \sin \theta$ と置換するのと同様に、双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ の面積計算では $x = \frac{e^t + e^{-t}}{2}, y = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$（双曲線関数）を用いた置換積分が極めて有効である。 (3)における「三角形の面積から積分部分を引く」という図形的な捉え方は、双曲線の面積問題における基本的な定石であるため、確実に押さえておきたい。計算結果が非常に綺麗な形（$\frac{s}{2}$）になることも特徴的である。