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数学3 定積分・面積問題 194 解説

方針・初手

積分区間が定数であり、被積分関数に変数 $x$ と積分変数 $t$ が混在している積分方程式である。まず、三角関数の加法定理を用いて積分変数 $t$ に無関係な $x$ を積分の外に追い出す。その後、定積分部分を定数と置き、関数 $f(x)$ の形を決定して定数を求めるという定石通りに進める。

解法1

与えられた関係式の被積分関数に対して、三角関数の加法定理を適用する。

$$\cos(at - 2ax) = \cos(at)\cos(2ax) + \sin(at)\sin(2ax)$$

これを与式に代入し、$t$ に無関係な $x$ の項を積分の外へ出すと、

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\frac{\pi}{a}} f(t) \{ \cos(at)\cos(2ax) + \sin(at)\sin(2ax) \} dt + 1 \\ &= \cos(2ax) \int_0^{\frac{\pi}{a}} f(t) \cos(at) dt + \sin(2ax) \int_0^{\frac{\pi}{a}} f(t) \sin(at) dt + 1 \end{aligned}$$

ここで、定積分は定数となるので、

$$A = \int_0^{\frac{\pi}{a}} f(t) \cos(at) dt$$

$$B = \int_0^{\frac{\pi}{a}} f(t) \sin(at) dt$$

とおくと、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = A \cos(2ax) + B \sin(2ax) + 1$$

したがって、

$$f(t) = A \cos(2at) + B \sin(2at) + 1$$

である。これを $A$ の定義式に代入する。

$$\begin{aligned} A &= \int_0^{\frac{\pi}{a}} \{ A \cos(2at) + B \sin(2at) + 1 \} \cos(at) dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{a}} \{ A \cos(2at)\cos(at) + B \sin(2at)\cos(at) + \cos(at) \} dt \end{aligned}$$

積和の公式を用いて被積分関数を変形する。

$$\begin{aligned} A &= \int_0^{\frac{\pi}{a}} \left[ \frac{A}{2} \{ \cos(3at) + \cos(at) \} + \frac{B}{2} \{ \sin(3at) + \sin(at) \} + \cos(at) \right] dt \\ &= \left[ \frac{A}{2} \left( \frac{1}{3a}\sin(3at) + \frac{1}{a}\sin(at) \right) + \frac{B}{2} \left( -\frac{1}{3a}\cos(3at) - \frac{1}{a}\cos(at) \right) + \frac{1}{a}\sin(at) \right]_0^{\frac{\pi}{a}} \end{aligned}$$

$a > 0$ であることに注意して $t$ に代入する。$t = \frac{\pi}{a}$ のとき $\sin(3\pi) = 0, \sin(\pi) = 0$ であり、$\cos(3\pi) = -1, \cos(\pi) = -1$ である。$t = 0$ のときは $\sin(0) = 0, \cos(0) = 1$ であるから、

$$\begin{aligned} A &= \frac{B}{2} \left\{ -\frac{1}{3a}(-1) - \frac{1}{a}(-1) \right\} - \frac{B}{2} \left( -\frac{1}{3a} - \frac{1}{a} \right) \\ &= \frac{B}{2} \left( \frac{1}{3a} + \frac{1}{a} \right) - \frac{B}{2} \left( -\frac{1}{3a} - \frac{1}{a} \right) \\ &= B \left( \frac{1}{3a} + \frac{1}{a} \right) \\ &= \frac{4}{3a}B \end{aligned}$$

よって、

$$3aA - 4B = 0 \quad \cdots \text{(1)}$$

次に、同様にして $B$ の定義式に $f(t)$ を代入する。

$$\begin{aligned} B &= \int_0^{\frac{\pi}{a}} \{ A \cos(2at) + B \sin(2at) + 1 \} \sin(at) dt \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{a}} \{ A \cos(2at)\sin(at) + B \sin(2at)\sin(at) + \sin(at) \} dt \end{aligned}$$

積和の公式を用いて変形する。

$$\begin{aligned} B &= \int_0^{\frac{\pi}{a}} \left[ \frac{A}{2} \{ \sin(3at) - \sin(at) \} - \frac{B}{2} \{ \cos(3at) - \cos(at) \} + \sin(at) \right] dt \\ &= \left[ \frac{A}{2} \left( -\frac{1}{3a}\cos(3at) + \frac{1}{a}\cos(at) \right) - \frac{B}{2} \left( \frac{1}{3a}\sin(3at) - \frac{1}{a}\sin(at) \right) - \frac{1}{a}\cos(at) \right]_0^{\frac{\pi}{a}} \\ &= \left[ \frac{A}{2} \left\{ -\frac{1}{3a}(-1) + \frac{1}{a}(-1) \right\} - \frac{1}{a}(-1) \right] - \left[ \frac{A}{2} \left( -\frac{1}{3a} + \frac{1}{a} \right) - \frac{1}{a}(1) \right] \\ &= \frac{A}{2} \left( \frac{1}{3a} - \frac{1}{a} \right) + \frac{1}{a} - \frac{A}{2} \left( -\frac{1}{3a} + \frac{1}{a} \right) + \frac{1}{a} \\ &= A \left( \frac{1}{3a} - \frac{1}{a} \right) + \frac{2}{a} \\ &= -\frac{2}{3a}A + \frac{2}{a} \end{aligned}$$

両辺に $3a$ を掛けて整理すると、

$$2A + 3aB = 6 \quad \cdots \text{(2)}$$

(1)より $B = \frac{3a}{4}A$ であるから、これを(2)に代入する。

$$2A + 3a \left( \frac{3a}{4}A \right) = 6$$

$$A \left( 2 + \frac{9a^2}{4} \right) = 6$$

$$A \cdot \frac{9a^2 + 8}{4} = 6$$

$a$ は実数であるから $9a^2 + 8 \neq 0$ であり、

$$A = \frac{24}{9a^2 + 8}$$

これを(1)に代入して $B$ を求める。

$$B = \frac{3a}{4} \cdot \frac{24}{9a^2 + 8} = \frac{18a}{9a^2 + 8}$$

求めた $A, B$ を $f(x)$ の式に代入して関数を決定する。

$$f(x) = \frac{24}{9a^2 + 8} \cos(2ax) + \frac{18a}{9a^2 + 8} \sin(2ax) + 1$$

解説

積分区間が定数である積分方程式の典型問題である。定積分は定数になるため、文字で置くのが基本方針となる。ただし、被積分関数に $x$ が含まれている場合は、そのまま定数と置くことはできないため、まずは積分の外に $x$ をくくり出す操作が必要である。本問では加法定理を用いることで分離が可能となる。また、積分計算では積和の公式を活用して $\sin, \cos$ の1次式に直してから積分すると見通しが良い。