数学3 定積分・面積 問題 213 解説

方針・初手

定積分において被積分関数に絶対値が含まれているため、積分区間内における符号の変化を調べ、場合分けを行って絶対値を外す。積分変数は $t$ であり、$x$ は定数として扱うことに注意する。被積分関数の $\sin t - \sin x$ の符号が変わる $t$ の値を見つけ、積分区間を分割して計算する。その後、得られた $f(x)$ の式を微分し、増減を調べることで最小値を求める。

解法1

(1)

$f(x)$ に $x = 0$ を代入すると、

$$f(0) = \int_0^\pi |\sin t - \sin 0| \,dt = \int_0^\pi |\sin t| \,dt$$

積分区間 $0 \leqq t \leqq \pi$ において $\sin t \geqq 0$ であるから、絶対値記号をそのまま外すことができる。

$$f(0) = \int_0^\pi \sin t \,dt = \Big[ -\cos t \Big]_0^\pi = -(-1 - 1) = 2$$

(2)

積分区間 $0 \leqq t \leqq \pi$ において、$\sin t - \sin x = 0$ を満たす $t$ を求める。

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ より、$\sin t = \sin x$ となる $t$ は $t = x, \pi - x$ である。

このとき、$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、$0 \leqq x \leqq \pi - x \leqq \pi$ の大小関係が成り立つ。

したがって、積分区間 $0 \leqq t \leqq \pi$ は、$t = x$ および $t = \pi - x$ を境に次のように分割され、各区間における $\sin t - \sin x$ の符号は以下のようになる。

• $0 \leqq t \leqq x$ のとき、$\sin t \leqq \sin x$ より $\sin t - \sin x \leqq 0$
• $x \leqq t \leqq \pi - x$ のとき、$\sin t \geqq \sin x$ より $\sin t - \sin x \geqq 0$
• $\pi - x \leqq t \leqq \pi$ のとき、$\sin t \leqq \sin x$ より $\sin t - \sin x \leqq 0$

よって、絶対値を外して $f(x)$ を計算すると、

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_0^x -(\sin t - \sin x) \,dt + \int_x^{\pi - x} (\sin t - \sin x) \,dt + \int_{\pi - x}^\pi -(\sin t - \sin x) \,dt \\ &= \Big[ \cos t + t\sin x \Big]_0^x + \Big[ -\cos t - t\sin x \Big]_x^{\pi - x} + \Big[ \cos t + t\sin x \Big]_{\pi - x}^\pi \end{aligned}$$

各項を計算する。

$$\begin{aligned} f(x) &= (\cos x + x\sin x - 1) \\ &\quad + (-\cos(\pi - x) - (\pi - x)\sin x) - (-\cos x - x\sin x) \\ &\quad + (\cos\pi + \pi\sin x) - (\cos(\pi - x) + (\pi - x)\sin x) \end{aligned}$$

$\cos(\pi - x) = -\cos x$、$\cos\pi = -1$ を用いて整理する。

$$\begin{aligned} f(x) &= (\cos x + x\sin x - 1) \\ &\quad + (\cos x - \pi\sin x + x\sin x + \cos x + x\sin x) \\ &\quad + (-1 + \pi\sin x + \cos x - \pi\sin x + x\sin x) \\ &= (\cos x + x\sin x - 1) + (2\cos x + 2x\sin x - \pi\sin x) + (\cos x + x\sin x - 1) \\ &= 4\cos x + 4x\sin x - \pi\sin x - 2 \\ &= 4\cos x + (4x - \pi)\sin x - 2 \end{aligned}$$

(3)

(2) で求めた $f(x)$ を $x$ について微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= -4\sin x + 4\sin x + (4x - \pi)\cos x \\ &= (4x - \pi)\cos x \end{aligned}$$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において $f'(x) = 0$ となるのは、$4x - \pi = 0$ すなわち $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、および $\cos x = 0$ すなわち $x = \frac{\pi}{2}$ のときである。

したがって、$f(x)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{4} & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 \\ \hline f(x) & 2 & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \pi - 2 \end{array}$$

増減表より、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ のとき最小値をとる。

その最小値は、

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{4}\right) &= 4\cos\frac{\pi}{4} + \left(4 \cdot \frac{\pi}{4} - \pi\right)\sin\frac{\pi}{4} - 2 \\ &= 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 - 2 \\ &= 2\sqrt{2} - 2 \end{aligned}$$

解説

絶対値を含む定積分の典型問題である。積分変数とそれ以外の定数を明確に区別し、積分区間内で被積分関数の符号がどこで切り替わるかを正しく把握することが最大のポイントとなる。本問では積分変数が $t$ であり、$x$ は定数として扱う。

符号の変化を調べる際には、$y = \sin t$ のグラフを描き、直線 $y = \sin x$ との上下関係を視覚的に捉えると理解しやすい。積分計算後に出てくる微分と増減表の作成は標準的であるが、積の微分公式を用いて正しく導関数を計算する注意力が必要である。

答え

(1) $f(0) = 2$

(2) $f(x) = 4\cos x + (4x - \pi)\sin x - 2$

(3) 最小値 $2\sqrt{2} - 2$ $\left( x = \frac{\pi}{4} \text{ のとき} \right)$