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数学3 定積分・面積問題 212 解説

方針・初手

与えられた積分方程式において、積分区間は $0$ から $\pi$ までの定数であるため、定積分された部分は定数となる。しかし、被積分関数 $\sin(x-t)$ の中に変数 $x$ と積分変数 $t$ が混在しているため、そのままでは定数として扱うことができない。

したがって、まずは加法定理を用いて $\sin(x-t)$ を展開し、積分変数 $t$ に無関係な $x$ の式を積分の外に出すことから始める。その後、残った定積分を定数と置いて方程式を立てる定石を用いる。

解法1

与えられた方程式の被積分関数を加法定理により展開する。

$$\sin(x-t) = \sin x \cos t - \cos x \sin t$$

これを与式に代入し、$x$ を含む項を積分の外へ出すと、次のように変形できる。

$$\begin{aligned} f(x) &= x + 2 \int_0^\pi f(t) (\sin x \cos t - \cos x \sin t) dt \\ &= x + 2 \sin x \int_0^\pi f(t) \cos t dt - 2 \cos x \int_0^\pi f(t) \sin t dt \end{aligned}$$

ここで、定積分は定数となるので、

$$A = \int_0^\pi f(t) \cos t dt$$

$$B = \int_0^\pi f(t) \sin t dt$$

とおくと、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = x + 2A \sin x - 2B \cos x$$

この $f(t) = t + 2A \sin t - 2B \cos t$ を $A, B$ の定義式に代入して、それぞれ計算する。

まず $A$ について計算する。

$$\begin{aligned} A &= \int_0^\pi (t + 2A \sin t - 2B \cos t) \cos t dt \\ &= \int_0^\pi (t \cos t + 2A \sin t \cos t - 2B \cos^2 t) dt \\ &= \int_0^\pi t \cos t dt + A \int_0^\pi \sin 2t dt - B \int_0^\pi (1 + \cos 2t) dt \end{aligned}$$

ここで、各項の積分は以下のようになる。

$$\begin{aligned} \int_0^\pi t \cos t dt &= \left[ t \sin t \right]_0^\pi - \int_0^\pi \sin t dt = 0 - \left[ -\cos t \right]_0^\pi = -2 \\ \int_0^\pi \sin 2t dt &= \left[ -\frac{1}{2} \cos 2t \right]_0^\pi = -\frac{1}{2}(1 - 1) = 0 \\ \int_0^\pi (1 + \cos 2t) dt &= \left[ t + \frac{1}{2} \sin 2t \right]_0^\pi = \pi \end{aligned}$$

よって、$A$ は以下の式となる。

$$A = -2 + 0 - B\pi$$

すなわち、

$$A + \pi B = -2 \quad \cdots \text{(1)}$$

次に $B$ について計算する。

$$\begin{aligned} B &= \int_0^\pi (t + 2A \sin t - 2B \cos t) \sin t dt \\ &= \int_0^\pi (t \sin t + 2A \sin^2 t - 2B \sin t \cos t) dt \\ &= \int_0^\pi t \sin t dt + A \int_0^\pi (1 - \cos 2t) dt - B \int_0^\pi \sin 2t dt \end{aligned}$$

同様に各項の積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^\pi t \sin t dt &= \left[ -t \cos t \right]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos t) dt = \pi + \left[ \sin t \right]_0^\pi = \pi \\ \int_0^\pi (1 - \cos 2t) dt &= \left[ t - \frac{1}{2} \sin 2t \right]_0^\pi = \pi \\ \int_0^\pi \sin 2t dt &= 0 \end{aligned}$$

よって、$B$ は以下の式となる。

$$B = \pi + A\pi - 0$$

すなわち、

$$\pi A - B = -\pi \quad \cdots \text{(2)}$$

(1) と (2) の連立方程式を解く。(2) より $B = \pi A + \pi$ を (1) に代入する。

$$\begin{aligned} A + \pi(\pi A + \pi) &= -2 \\ (\pi^2 + 1)A &= -\pi^2 - 2 \\ A &= -\frac{\pi^2 + 2}{\pi^2 + 1} \end{aligned}$$

これを $B = \pi A + \pi$ に代入して $B$ を求める。

$$\begin{aligned} B &= \pi \left( -\frac{\pi^2 + 2}{\pi^2 + 1} \right) + \pi \\ &= \frac{-\pi^3 - 2\pi + \pi^3 + \pi}{\pi^2 + 1} \\ &= -\frac{\pi}{\pi^2 + 1} \end{aligned}$$

求めた $A$ と $B$ を $f(x)$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} f(x) &= x + 2 \left( -\frac{\pi^2 + 2}{\pi^2 + 1} \right) \sin x - 2 \left( -\frac{\pi}{\pi^2 + 1} \right) \cos x \\ &= x - \frac{2(\pi^2 + 2)}{\pi^2 + 1} \sin x + \frac{2\pi}{\pi^2 + 1} \cos x \end{aligned}$$

解説

定積分を含む関数方程式の典型問題である。積分区間が定数であれば、その定積分は定数になることを利用する。

本問の最大のポイントは、被積分関数 $\sin(x-t)$ に変数 $x$ と積分変数 $t$ が含まれている点である。そのままでは定積分を定数と置くことができないため、加法定理を用いて展開し、$x$ を積分の外にくくり出す操作が不可欠である。

また、方程式を立てた後の定積分の計算において、部分積分法（$\int t \cos t dt$, $\int t \sin t dt$）や半角の公式・倍角の公式（$\int \sin^2 t dt$, $\int \cos^2 t dt$, $\int \sin t \cos t dt$）を用いる必要がある。これらを正確に処理する基礎的な計算力が問われている。