数学3 定積分・面積 問題 215 解説

方針・初手

定積分で表された関数を微分する典型問題である。積分区間に変数 $x$ が含まれるだけでなく、被積分関数にも $f(x-t)$ の形で変数 $x$ が含まれている。このままでは $x$ について微分できないため、まず置換積分を用いて被積分関数内の $x$ を積分の外にくくり出すことから手をつける。

解法1

(1)

与えられた定積分の式は、積分の向きを反転させることで以下のように変形できる。

$$F(x) = -\frac{x}{2} - \int_{0}^{x} t f(x-t) dt$$

右辺の定積分について、$x - t = u$ とおくと、$t = x - u$ であり、両辺を $t$ で微分すると $\frac{du}{dt} = -1$ より $dt = -du$ となる。 また、$t$ と $u$ の積分区間の対応は以下のようになる。

$t : 0 \rightarrow x$ $u : x \rightarrow 0$

これを用いて置換積分を行うと、定積分部分は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{x} t f(x-t) dt &= \int_{x}^{0} (x-u) f(u) (-du) \\ &= \int_{0}^{x} (x-u) f(u) du \\ &= \int_{0}^{x} \{ x f(u) - u f(u) \} du \\ &= x \int_{0}^{x} f(u) du - \int_{0}^{x} u f(u) du \end{aligned}$$

積分変数を $t$ に戻し、$F(x)$ の式に代入する。

$$F(x) = -\frac{x}{2} - x \int_{0}^{x} f(t) dt + \int_{0}^{x} t f(t) dt$$

この式の両辺を $x$ について微分する。第2項は $x$ と $\int_{0}^{x} f(t) dt$ の積であるため、積の微分公式を用いる。

$$\begin{aligned} F'(x) &= -\frac{1}{2} - \left\{ 1 \cdot \int_{0}^{x} f(t) dt + x \cdot f(x) \right\} + x f(x) \\ &= -\frac{1}{2} - \int_{0}^{x} f(t) dt - x f(x) + x f(x) \\ &= -\frac{1}{2} - \int_{0}^{x} f(t) dt \end{aligned}$$

得られた式の両辺をさらに $x$ について微分する。

$$F''(x) = -f(x)$$

問題の条件より $F''(x) = \cos x$ であるから、

$$-f(x) = \cos x \iff f(x) = -\cos x$$

となる。次に $F(x)$ を求める。得られた $f(t) = -\cos t$ を $F'(x)$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} F'(x) &= -\frac{1}{2} - \int_{0}^{x} (-\cos t) dt \\ &= -\frac{1}{2} + \Bigl[ \sin t \Bigr]_{0}^{x} \\ &= -\frac{1}{2} + \sin x \end{aligned}$$

これを $x$ について積分すると、$F(x)$ が得られる。

$$\begin{aligned} F(x) &= \int \left( \sin x - \frac{1}{2} \right) dx \\ &= -\cos x - \frac{x}{2} + C \quad (C は積分定数) \end{aligned}$$

積分定数 $C$ を決定する。最初の $F(x)$ の定義式において、$x = 0$ を代入すると、積分区間が $0$ から $0$ となるため定積分は $0$ になる。

$$F(0) = -\frac{0}{2} + \int_{0}^{0} t f(-t) dt = 0$$

一方で、求めた $F(x)$ の式に $x = 0$ を代入すると、

$$F(0) = -\cos 0 - \frac{0}{2} + C = -1 + C$$

これらが等しいことから、

$$-1 + C = 0 \iff C = 1$$

したがって、求める $F(x)$ は以下のようになる。

$$F(x) = -\frac{x}{2} - \cos x + 1$$

(2)

(1)より、$F'(x) = \sin x - \frac{1}{2}$ である。 $-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において $F'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

$-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、これを満たすのは $x = \frac{\pi}{6}$ のみである。 導関数の符号は、$-\frac{\pi}{2} \leqq x < \frac{\pi}{6}$ のとき $\sin x < \frac{1}{2}$ より $F'(x) < 0$ となり、$\frac{\pi}{6} < x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin x > \frac{1}{2}$ より $F'(x) > 0$ となる。 よって、$F(x)$ は $x = \frac{\pi}{6}$ で極小かつ最小となる。

端点および極小値における $F(x)$ の値を計算する。

$$F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 1 = \frac{\pi}{4} + 1$$

$$F\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + 1 = -\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12}$$

$$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = -\frac{\pi}{4} + 1$$

最大値は端点での値のいずれかであるが、$\frac{\pi}{4} + 1 > -\frac{\pi}{4} + 1$ であるため、$x = -\frac{\pi}{2}$ のとき最大となる。

解説

被積分関数に $f(x-t)$ のように積分変数 $t$ とそれ以外の文字 $x$ が混在している場合、そのままでは $x$ について微分できない。変数 $x$ を積分の外に出すために、$u = x-t$ などの置換積分を行うのが定石である。置換積分後は、積分区間の見直しと $dt$ から $du$ への変換を忘れないように注意が必要である。 また、微積分学の基本定理 $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$ を用いる際、積の微分公式 $(fg)' = f'g + fg'$ を組み合わせて処理する点も頻出のパターンである。積分定数を決定する際は、定積分が $0$ になるように上端と下端を同じ値（本問では $x=0$）にするテクニックを用いる。

答え

(1) $f(x) = -\cos x$, $F(x) = -\frac{x}{2} - \cos x + 1$

(2) 最大値: $\frac{\pi}{4} + 1 \quad \left(x = -\frac{\pi}{2}\right)$, 最小値: $1 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12} \quad \left(x = \frac{\pi}{6}\right)$