数学3 定積分・面積 問題 230 解説

方針・初手

(1) は定積分の有名性質であり、$x = \pi - t$ の置換積分を行うことで示すことができる。

(2) は (1) の結果を利用するため、被積分関数の $x$ 以外の部分が $\sin x$ の関数として表せることを確認する。その後、(1) を適用して $x$ を消去し、$\cos x = t$ などの置換積分と部分分数分解を用いて計算を進める。

解法1

(1)

$$I = \int_0^\pi x f(\sin x) \,dx$$

とおく。$x = \pi - t$ と置換すると、$dx = -dt$ であり、積分区間は $x$ が $0 \to \pi$ のとき $t$ は $\pi \to 0$ となる。 また、$\sin x = \sin(\pi - t) = \sin t$ であるから、

$$\begin{aligned} I &= \int_\pi^0 (\pi - t) f(\sin t) \cdot (-1) \,dt \\ &= \int_0^\pi (\pi - t) f(\sin t) \,dt \\ &= \pi \int_0^\pi f(\sin t) \,dt - \int_0^\pi t f(\sin t) \,dt \\ &= \pi \int_0^\pi f(\sin x) \,dx - I \end{aligned}$$

が成り立つ。よって、

$$2I = \pi \int_0^\pi f(\sin x) \,dx$$

$$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \,dx$$

となり、題意の等式は示された。

(2)

与えられた定積分において、被積分関数の $x$ 以外の部分は

$$\frac{(a^2 - 4\cos^2 x)\sin x}{a^2 - \cos^2 x} = \frac{\{a^2 - 4(1 - \sin^2 x)\}\sin x}{a^2 - (1 - \sin^2 x)} = \frac{(a^2 - 4 + 4\sin^2 x)\sin x}{a^2 - 1 + \sin^2 x}$$

と変形できる。これは $\sin x$ の関数であるから、

$$f(u) = \frac{(a^2 - 4 + 4u^2)u}{a^2 - 1 + u^2}$$

とおけば、区間 $0 \leqq u \leqq 1$ で連続な関数となる。（$a > 1$ より $a^2 - 1 > 0$ であり、分母が $0$ になることはないため） したがって、(1) の等式を用いることができ、

$$\int_0^\pi \frac{x(a^2 - 4\cos^2 x)\sin x}{a^2 - \cos^2 x} \,dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{(a^2 - 4\cos^2 x)\sin x}{a^2 - \cos^2 x} \,dx$$

が成り立つ。 ここで、右辺の積分について $\cos x = t$ と置換する。 $-\sin x \,dx = dt$ より $\sin x \,dx = -dt$ であり、積分区間は $x$ が $0 \to \pi$ のとき $t$ は $1 \to -1$ となる。

$$\begin{aligned} \int_0^\pi \frac{(a^2 - 4\cos^2 x)\sin x}{a^2 - \cos^2 x} \,dx &= \int_1^{-1} \frac{a^2 - 4t^2}{a^2 - t^2} \cdot (-1) \,dt \\ &= \int_{-1}^1 \frac{a^2 - 4t^2}{a^2 - t^2} \,dt \end{aligned}$$

被積分関数 $\frac{a^2 - 4t^2}{a^2 - t^2}$ は偶関数であるから、

$$\int_{-1}^1 \frac{a^2 - 4t^2}{a^2 - t^2} \,dt = 2 \int_0^1 \frac{a^2 - 4t^2}{a^2 - t^2} \,dt$$

となる。分子の次数を下げるように変形すると、

$$\frac{a^2 - 4t^2}{a^2 - t^2} = \frac{4(a^2 - t^2) - 3a^2}{a^2 - t^2} = 4 - \frac{3a^2}{a^2 - t^2}$$

さらに、$\frac{1}{a^2 - t^2}$ を部分分数分解すると、

$$\frac{1}{a^2 - t^2} = \frac{1}{(a-t)(a+t)} = \frac{1}{2a} \left( \frac{1}{a-t} + \frac{1}{a+t} \right)$$

となるので、

$$\begin{aligned} 2 \int_0^1 \frac{a^2 - 4t^2}{a^2 - t^2} \,dt &= 2 \int_0^1 \left\{ 4 - \frac{3a}{2} \left( \frac{1}{a-t} + \frac{1}{a+t} \right) \right\} \,dt \\ &= 2 \left[ 4t - \frac{3a}{2} \left( -\log|a-t| + \log|a+t| \right) \right]_0^1 \\ &= 2 \left[ 4t - \frac{3a}{2} \log \left| \frac{a+t}{a-t} \right| \right]_0^1 \\ &= 2 \left( 4 - \frac{3a}{2} \log \frac{a+1}{a-1} \right) \\ &= 8 - 3a \log \frac{a+1}{a-1} \end{aligned}$$

（$a > 1$ より $a+1 > 0, a-1 > 0$ であるため、絶対値記号はそのまま外すことができる）

以上より、求める積分の値は

$$\frac{\pi}{2} \left( 8 - 3a \log \frac{a+1}{a-1} \right) = 4\pi - \frac{3}{2}\pi a \log \frac{a+1}{a-1}$$

となる。

解説

(1) の等式は、King Property と呼ばれる性質 $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ から導かれる有名な関係式である。被積分関数に $x$ と三角関数が混在している定積分では、この等式を用いて $x$ を消去し、積分可能な形に帰着させることが定石となっている。

(2) では、(1) を適用するために「$x$ を除いた部分が $\sin x$ だけで表せるか」を確認する必要がある。$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ より $\sin x$ の関数になることが確認できるため、(1) の結果を適用できる。その後の積分計算では、分母と分子の次数が等しいため、まずは分子の次数を下げる変形を行い、その後部分分数分解を行うという有理関数の積分の基本手順を踏む。

答え

(1) 略

(2)

$$4\pi - \frac{3}{2}\pi a \log \frac{a+1}{a-1}$$