トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 232

数学3 定積分・面積問題 232 解説

方針・初手

(1) は、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めて増減表を作成し、極値を調べます。また、グラフの概形を描くためには、$x \to \infty$ および $x \to -\infty$ のときの極限や、座標軸との交点も調べておく必要があります。

(2) は、まず $f(x) \ge 0$ となる $x$ の範囲を求め、積分区間を決定します。その後、その区間で $f(x)$ の定積分を計算して面積を求めます。指数関数と多項式の積の積分であるため、部分積分法を繰り返し用いるのが定石です。

解法1

(1)

$f(x) = (1 - x^2)e^{-x}$ を $x$ について微分すると、積の微分法より

$$\begin{aligned} f'(x) &= (-2x)e^{-x} + (1 - x^2)(-e^{-x}) \\ &= (-2x - 1 + x^2)e^{-x} \\ &= (x^2 - 2x - 1)e^{-x} \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$e^{-x} > 0$ であるから、

$$x^2 - 2x - 1 = 0$$

これを解くと、$x = 1 \pm \sqrt{2}$ となる。したがって、$f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$1 - \sqrt{2}$	$\cdots$	$1 + \sqrt{2}$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

ここで、極値を計算する。 $x = 1 - \sqrt{2}$ のとき

$$\begin{aligned} f(1 - \sqrt{2}) &= \{1 - (1 - \sqrt{2})^2\}e^{-(1 - \sqrt{2})} \\ &= \{1 - (1 - 2\sqrt{2} + 2)\}e^{\sqrt{2} - 1} \\ &= (2\sqrt{2} - 2)e^{\sqrt{2} - 1} \\ &= 2(\sqrt{2} - 1)e^{\sqrt{2} - 1} \end{aligned}$$

$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき

$$\begin{aligned} f(1 + \sqrt{2}) &= \{1 - (1 + \sqrt{2})^2\}e^{-(1 + \sqrt{2})} \\ &= \{1 - (1 + 2\sqrt{2} + 2)\}e^{-\sqrt{2} - 1} \\ &= (-2\sqrt{2} - 2)e^{-\sqrt{2} - 1} \\ &= -2(\sqrt{2} + 1)e^{-\sqrt{2} - 1} \end{aligned}$$

さらに、グラフの漸近線や座標軸との交点を調べる。 $y$ 軸との交点は、 $f(0) = 1$ より $(0, 1)$ である。 $x$ 軸との交点は、 $f(x) = 0$ とすると $1 - x^2 = 0$ より $x = \pm 1$ となるため、 $(-1, 0)$ および $(1, 0)$ である。

また、極限を調べると

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - x^2}{e^x} = 0$$

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (1 - x^2)e^{-x} = -\infty$$

となる。以上より、極大値は $2(\sqrt{2} - 1)e^{\sqrt{2} - 1}$ 、極小値は $-2(\sqrt{2} + 1)e^{-\sqrt{2} - 1}$ である。グラフは、$(-1, 0)$、$ (1, 0)$、$ (0, 1)$ を通り、$x \to \infty$ で $x$ 軸に漸近する曲線となる。

(2)

$f(x) \ge 0$ のとき、

$$(1 - x^2)e^{-x} \ge 0$$

$e^{-x} > 0$ であるから、

$$1 - x^2 \ge 0$$

これを解いて、

$$-1 \le x \le 1$$

したがって、求める図形の面積 $S$ は、区間 $[-1, 1]$ における $f(x)$ の定積分である。

$$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2)e^{-x} dx$$

部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int (1 - x^2)e^{-x} dx &= \int (1 - x^2)(-e^{-x})' dx \\ &= (1 - x^2)(-e^{-x}) - \int (-2x)(-e^{-x}) dx \\ &= (x^2 - 1)e^{-x} - 2 \int x e^{-x} dx \\ &= (x^2 - 1)e^{-x} - 2 \int x (-e^{-x})' dx \\ &= (x^2 - 1)e^{-x} - 2 \left\{ x(-e^{-x}) - \int 1 \cdot (-e^{-x}) dx \right\} \\ &= (x^2 - 1)e^{-x} + 2x e^{-x} - 2 \int e^{-x} dx \\ &= (x^2 - 1)e^{-x} + 2x e^{-x} - 2(-e^{-x}) \\ &= (x^2 + 2x + 1)e^{-x} \\ &= (x + 1)^2 e^{-x} \end{aligned}$$

よって、定積分を計算すると

$$\begin{aligned} S &= \left[ (x + 1)^2 e^{-x} \right]_{-1}^{1} \\ &= (1 + 1)^2 e^{-1} - (-1 + 1)^2 e^{1} \\ &= 4e^{-1} - 0 \\ &= \frac{4}{e} \end{aligned}$$

解説

(1) の微分計算は基本的な積の導関数公式の適用です。極値の計算では、少し式が複雑になりますが、丁寧に代入して整理することが重要です。グラフの概形を描くためには、極値だけでなく $x$ 軸との交点や極限（とくに $x \to \infty$ で $0$ に収束すること）を把握することがポイントとなります。

(2) は、指数関数と多項式が掛け合わされた関数の積分における典型的な処理です。「多項式を微分して次数を下げる」方向に部分積分を2回繰り返すことで、積分を計算しきることができます。途中の符号の扱いに注意して計算ミスを防ぎましょう。定積分の前に不定積分を端まで計算しておくと、代入の計算がシンプルになります。