数学3 定積分・面積 問題 233 解説

方針・初手

• (1) は定積分の基本的な計算問題である。分子の $x$ が分母 $1+x^2$ の微分に関連していることに着目する。
• (2) は定積分の不等式証明である。中央の2つの積分を1つにまとめ、被積分関数の真数部分を整理する。右辺の $\log(1+t^2)$ という形を作り出すために、被積分関数を上から評価する。
• (3) は (2) の結果を利用する極限計算である。不等式ではさみうちの原理を適用することを目標に、具体的な積分計算と極限の評価を組み合わせる。

解法1

(1)

与えられた定積分は、分子に分母の微分の形を作り出すことで計算できる。

$$\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{(1+x^2)'}{1+x^2} dx$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \log(1+x^2) \right]_0^1$$

$$= \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$$

(2)

示すべき不等式の中辺を $I(t)$ とおく。2つの積分をまとめ、対数の性質を用いて整理する。

$$I(t) = \int_1^t \frac{x \log(1+x^2)}{1+x^2} dx - \int_1^t \frac{2x \log x}{1+x^2} dx$$

$$= \int_1^t \frac{x \log(1+x^2) - x \log x^2}{1+x^2} dx$$

$$= \int_1^t \frac{x}{1+x^2} \log \left( \frac{1+x^2}{x^2} \right) dx$$

$$= \int_1^t \frac{x}{1+x^2} \log \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) dx$$

ここで、$x \ge 1$ において、$0 < \frac{1}{x^2} \le 1$ であるから、

$$1 < 1 + \frac{1}{x^2} \le 2$$

自然対数の底 $e$ ($e \approx 2.718\dots$) に対して $\log 2 < \log e = 1 < 2$ であるから、各辺の自然対数をとると

$$0 < \log \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) \le \log 2 < 2$$

が成り立つ。さらに、$x > 0$ のとき $\frac{x}{1+x^2} > 0$ であるから、各辺にこれを掛けると

$$0 < \frac{x}{1+x^2} \log \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) \le \frac{x}{1+x^2} \log 2 < \frac{2x}{1+x^2}$$

となる。$t > 1$ より、これを区間 $[1, t]$ で定積分しても不等号の向きは保たれるため、

$$0 < \int_1^t \frac{x}{1+x^2} \log \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) dx < \int_1^t \frac{2x}{1+x^2} dx$$

ここで、右辺の積分を計算する。

$$\int_1^t \frac{2x}{1+x^2} dx = \left[ \log(1+x^2) \right]_1^t = \log(1+t^2) - \log 2$$

$\log 2 > 0$ であるから、$\log(1+t^2) - \log 2 < \log(1+t^2)$ が成り立つ。したがって、

$$0 < \int_1^t \frac{x}{1+x^2} \log \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) dx < \log(1+t^2)$$

すなわち、

$$0 < \int_1^t \frac{x \log(1+x^2)}{1+x^2} dx - \int_1^t \frac{2x \log x}{1+x^2} dx < \log(1+t^2)$$

が示された。

(3)

(2) の不等式より、$I(t)$ について $0 < I(t) < \log(1+t^2)$ が成り立つ。

また、$I(t)$ の定義式を変形して、求める極限に含まれる積分 $\int_1^t \frac{x \log x}{1+x^2} dx$ を取り出す。

$$I(t) = \int_1^t \frac{x \log(1+x^2)}{1+x^2} dx - 2 \int_1^t \frac{x \log x}{1+x^2} dx$$

$$2 \int_1^t \frac{x \log x}{1+x^2} dx = \int_1^t \frac{x \log(1+x^2)}{1+x^2} dx - I(t)$$

右辺第1項の積分を求める。

$$\int_1^t \frac{x \log(1+x^2)}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int_1^t \frac{2x}{1+x^2} \log(1+x^2) dx$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \{\log(1+x^2)\}^2 \right]_1^t$$

$$= \frac{1}{4} \{\log(1+t^2)\}^2 - \frac{1}{4} (\log 2)^2$$

これを先ほどの式に代入する。

$$2 \int_1^t \frac{x \log x}{1+x^2} dx = \frac{1}{4} \{\log(1+t^2)\}^2 - \frac{1}{4} (\log 2)^2 - I(t)$$

両辺を $2\{\log(1+t^2)\}^2$ ($t>1$ より正) で割ると、極限をとる対象の式が得られる。

$$\frac{1}{\{\log(1+t^2)\}^2} \int_1^t \frac{x \log x}{1+x^2} dx = \frac{1}{8} - \frac{(\log 2)^2}{8\{\log(1+t^2)\}^2} - \frac{I(t)}{2\{\log(1+t^2)\}^2}$$

ここで $t \to \infty$ としたときの各項の極限を考える。 $t \to \infty$ のとき $\log(1+t^2) \to \infty$ であるから、第2項は $0$ に収束する。

$$\lim_{t \to \infty} \frac{(\log 2)^2}{8\{\log(1+t^2)\}^2} = 0$$

また、第3項について、(2) より $0 < I(t) < \log(1+t^2)$ であるため、各辺を $2\{\log(1+t^2)\}^2$ で割ると

$$0 < \frac{I(t)}{2\{\log(1+t^2)\}^2} < \frac{\log(1+t^2)}{2\{\log(1+t^2)\}^2} = \frac{1}{2\log(1+t^2)}$$

$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{2\log(1+t^2)} = 0$ であるから、はさみうちの原理より第3項も $0$ に収束する。

$$\lim_{t \to \infty} \frac{I(t)}{2\{\log(1+t^2)\}^2} = 0$$

以上より、求める極限は以下のようになる。

$$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{\{\log(1+t^2)\}^2} \int_1^t \frac{x \log x}{1+x^2} dx = \frac{1}{8} - 0 - 0 = \frac{1}{8}$$

解説

• (1) と (3) の前半では、$\int f(x)^n f'(x) dx = \frac{1}{n+1} f(x)^{n+1} + C$ という微分の逆算を利用した積分計算が問われている。
• (2) においては、不等式の右辺 $\log(1+t^2)$ を導くために、被積分関数を $\frac{2x}{1+x^2}$ と比較する発想が鍵となる。真数条件や定義域を考慮し、自然対数の値を上から抑える操作は、難関大で頻出の評価手法である。
• (3) は誘導に乗り、「計算可能な積分」と「不等式評価ではさみうちにする積分」を綺麗に切り分ける典型的な極限問題である。(2) で得た不等式をどのように活用するかを見越して式変形を行う必要がある。

答え

(1)

$$\frac{1}{2} \log 2$$

(2)

解説の通り。

(3)

$$\frac{1}{8}$$