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数学3 定積分・面積問題 237 解説

方針・初手

(1) は方程式 $\int_0^x f(t) dt = x$ の正の実数解がただ1つ存在することを示す問題である。差をとった関数 $g(x) = \int_0^x f(t) dt - x$ を定義して、微積分法により増減と極限を調べればよい。

(2) は定積分の不等式証明である。被積分関数 $f(t)$ が単調減少であることを利用し、積分区間内における被積分関数の最大値を評価する定石を用いる。

(3) は積分で定義された数列の極限を求める問題。直接一般項を求めることは困難であるため、(2) で示した不等式を利用して、目標値 $a$ との差 $a - x_n$ が $0$ に収束することをはさみうちの原理から示す。その準備として、すべての $n$ に対して $x_n$ が区間 $[b, a]$ に収まることを数学的帰納法で証明する。

解法1

(1)

$g(x) = \int_0^x f(t) dt - x$ とおく。 $x > 0$ における $g(x)$ の増減を調べる。 $g(x)$ を $x$ で微分すると、微積分学の基本定理より

$$g'(x) = f(x) - 1 = \frac{3}{e^x + 1} - 1 = \frac{3 - (e^x + 1)}{e^x + 1} = \frac{2 - e^x}{e^x + 1}$$

$g'(x) = 0$ とすると、$e^x = 2$ すなわち $x = \log 2$ である。 $x > 0$ における $g(x)$ の増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \log 2 & \cdots & (a) \\ \hline g'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline g(x) & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow & 0 \end{array}$$

また、$g(x)$ を具体的に計算すると、

$$\begin{aligned} g(x) &= \int_0^x \frac{3}{e^t + 1} dt - x \\ &= \int_0^x \frac{3e^{-t}}{1 + e^{-t}} dt - x \\ &= \left[ -3\log(1 + e^{-t}) \right]_0^x - x \\ &= -3\log(1 + e^{-x}) + 3\log 2 - x \end{aligned}$$

となる。ここで $x \to \infty$ の極限を考えると、$e^{-x} \to 0$ であるから、

$$\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \left\{ -3\log(1 + e^{-x}) + 3\log 2 - x \right\} = -\infty$$

となる。

増減表および極限より、$g(x)$ は $x=0$ で $0$ から出発して単調に増加し、$x = \log 2$ で正の極大値をとった後、単調に減少して負の無限大に発散する。したがって、$g(x)$ は連続関数であるから、中間値の定理および単調性より、$x > \log 2$ の範囲に $g(x) = 0$ となる $x$ がただ1つ存在する。すなわち、正の数 $a$ で $\int_0^a f(t) dt = a$ を満たすものがただ1つ存在することが示された。

(2)

示すべき不等式の中辺について、積分の性質より

$$\int_0^a f(t) dt - \int_0^x f(t) dt = \int_x^a f(t) dt$$

となる。被積分関数 $f(t) = \frac{3}{e^t + 1}$ について、指数関数 $e^t$ は増加関数であるため、分母 $e^t + 1$ も増加関数となり、$f(t)$ は単調減少関数である。また、任意の $t$ に対して $f(t) > 0$ である。

条件より $b \leqq x \leqq a$ であるから、積分区間 $x \leqq t \leqq a$ において、$f(t)$ は単調減少であることと $b \leqq x$ であることから、

$$0 < f(a) \leqq f(t) \leqq f(x) \leqq f(b)$$

が成り立つ。したがって、各辺を $t$ について $x$ から $a$ まで定積分すると、

$$\int_x^a 0 \, dt \leqq \int_x^a f(t) dt \leqq \int_x^a f(b) dt$$

となる。ここで、

$$\int_x^a 0 \, dt = 0$$

$$\int_x^a f(b) dt = f(b) \left[ t \right]_x^a = f(b)(a - x)$$

であるから、これらを代入して

$$0 \leqq \int_x^a f(t) dt \leqq f(b)(a - x)$$

すなわち

$$0 \leqq \int_0^a f(t) dt - \int_0^x f(t) dt \leqq f(b)(a - x)$$

が示された。

(3)

まず、すべての自然数 $n$ について $b \leqq x_n \leqq a$ が成り立つことを、数学的帰納法を用いて示す。

(i) $n=1$ のとき $x_1 = b$ であり、問題の条件から $\log 2 < b < a$ であるから、$b \leqq x_1 \leqq a$ は成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき $b \leqq x_k \leqq a$ が成り立つと仮定する。 $F(x) = \int_0^x f(t) dt$ とおくと、$F'(x) = f(x) > 0$ であるから、$F(x)$ は単調増加関数である。帰納法の仮定より $b \leqq x_k \leqq a$ であるから、単調増加関数 $F$ を適用すると

$$F(b) \leqq F(x_k) \leqq F(a)$$

すなわち

$$\int_0^b f(t) dt \leqq x_{k+1} \leqq \int_0^a f(t) dt$$

となる。ここで、(1)の定義より $\int_0^a f(t) dt = a$ であるから、$x_{k+1} \leqq a$ が成り立つ。また、(1)で定めた関数 $g(x) = F(x) - x$ について、増減表より $\log 2 < x < a$ の範囲では $g(x) > 0$ である。 $b$ は $\log 2 < b < a$ を満たすので、$g(b) > 0$ すなわち $F(b) - b > 0$ であり、$b < F(b)$ が成り立つ。よって、$b < F(b) \leqq x_{k+1}$ となり、$b \leqq x_{k+1}$ も成り立つ。以上より、$b \leqq x_{k+1} \leqq a$ となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について $b \leqq x_n \leqq a$ が成り立つ。

次に、(2)の不等式において $x = x_n$ とすると、上記の証明により $b \leqq x_n \leqq a$ を満たしているため適用可能であり、

$$0 \leqq \int_0^a f(t) dt - \int_0^{x_n} f(t) dt \leqq f(b)(a - x_n)$$

となる。$\int_0^a f(t) dt = a$、$x_{n+1} = \int_0^{x_n} f(t) dt$ より、

$$0 \leqq a - x_{n+1} \leqq f(b)(a - x_n)$$

が成り立つ。ここで、$b > \log 2$ であるから $e^b > e^{\log 2} = 2$ となり、

$$f(b) = \frac{3}{e^b + 1} < \frac{3}{2 + 1} = 1$$

である。また明らかに $f(b) > 0$ であるから、$0 < f(b) < 1$ である。この漸化式を繰り返し用いると、

$$\begin{aligned} 0 \leqq a - x_n &\leqq f(b) (a - x_{n-1}) \\ &\leqq \{f(b)\}^2 (a - x_{n-2}) \\ &\vdots \\ &\leqq \{f(b)\}^{n-1} (a - x_1) \end{aligned}$$

$x_1 = b$ より、

$$0 \leqq a - x_n \leqq \{f(b)\}^{n-1} (a - b)$$

となる。$0 < f(b) < 1$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \{f(b)\}^{n-1} (a - b) = 0$$

である。よって、はさみうちの原理より

$$\lim_{n \to \infty} (a - x_n) = 0$$

すなわち

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a$$

が示された。

解説

積分で定義された関数の扱いや、極限を求めるための漸化式の評価といった、数学IIIの微積分の典型的な手法を問う総合問題である。

(1) では、方程式を直接解こうとするのではなく、差をとって $g(x)$ と置き直すのが定石である。極限を厳密に求めるためには $\int_0^x f(t)dt$ を計算する必要があるが、分母分子に $e^{-t}$ をかけることで容易に積分できる。
(2) は「積分区間内での被積分関数の最大・最小を用いて、定積分の値の範囲を評価する」という基本手技である。関数の単調減少性に言及してから不等式を立てること。
(3) は、数列の極限を直接求められない場合に、目標となる値（ここでは $a$）との差を考え、公比が $0$ より大きく $1$ より小さい等比数列で上から抑え込んで「はさみうちの原理」に持ち込む解法である。これも頻出のパターンである。漸化式に(2)の不等式を適用するためには、前提条件である $b \leqq x_n \leqq a$ を数学的帰納法で示しておく必要があり、ここに論理の抜けがないように注意したい。