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数学3 定積分・面積問題 236 解説

方針・初手

積分変数 $t$ と定数扱いされる変数 $x$ の関係に注意して絶対値を外す。積分区間 $0 \leqq t \leqq 1$ において、絶対値の中身 $t^4 - x^2$ の符号がどのように変わるかを調べることから始める。

解法1

(1)

$0 \leqq x \leqq 1$ のとき、積分変数 $t$ は $0 \leqq t \leqq 1$ の範囲を動く。

$t^4 - x^2 = (t^2 - x)(t^2 + x)$

$t \geqq 0, x \geqq 0$ より $t^2 + x \geqq 0$ であるから、$t^4 - x^2$ の符号は $t^2 - x$ の符号と一致する。

$t^2 - x = 0$ となるのは、$t = \sqrt{x}$ のときである。

$0 \leqq x \leqq 1$ より $0 \leqq \sqrt{x} \leqq 1$ であるから、積分区間を $0 \leqq t \leqq \sqrt{x}$ と $\sqrt{x} \leqq t \leqq 1$ に分割する。

$0 \leqq t \leqq \sqrt{x}$ のとき、$t^2 \leqq x$ より $t^4 - x^2 \leqq 0$

$\sqrt{x} \leqq t \leqq 1$ のとき、$t^2 \geqq x$ より $t^4 - x^2 \geqq 0$

したがって、定積分 $f(x)$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_0^1 |t^4 - x^2| dt \\ &= \int_0^{\sqrt{x}} -(t^4 - x^2) dt + \int_{\sqrt{x}}^1 (t^4 - x^2) dt \\ &= \int_0^{\sqrt{x}} (x^2 - t^4) dt + \int_{\sqrt{x}}^1 (t^4 - x^2) dt \\ &= \left[ x^2 t - \frac{1}{5} t^5 \right]_0^{\sqrt{x}} + \left[ \frac{1}{5} t^5 - x^2 t \right]_{\sqrt{x}}^1 \\ &= \left( x^2 \sqrt{x} - \frac{1}{5} (\sqrt{x})^5 \right) + \left( \frac{1}{5} - x^2 \right) - \left( \frac{1}{5} (\sqrt{x})^5 - x^2 \sqrt{x} \right) \\ &= x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{5} - x^2 - \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{5}{2}} \\ &= \frac{8}{5} x^{\frac{5}{2}} - x^2 + \frac{1}{5} \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果から、$0 \leqq x \leqq 1$ において $f(x)$ を微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 2x \\ &= 4x\sqrt{x} - 2x \\ &= 2x(2\sqrt{x} - 1) \end{aligned}$$

さらに $x$ で微分する。

$$\begin{aligned} f''(x) &= 4 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 2 \\ &= 6\sqrt{x} - 2 \\ &= 2(3\sqrt{x} - 1) \end{aligned}$$

$0 < x < 1$ において、$f'(x) = 0$ となるのは $2\sqrt{x} - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{4}$ のときである。

$0 < x < 1$ において、$f''(x) = 0$ となるのは $3\sqrt{x} - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{9}$ のときである。

これらをもとに、$f(x)$ の増減・凹凸をまとめた表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{9}$	$\cdots$	$\frac{1}{4}$	$\cdots$	$1$
$f'(x)$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$
$f''(x)$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$
$f(x)$	$\frac{1}{5}$	$\searrow$ (上に凸)	変曲点	$\searrow$ (下に凸)	極小	$\nearrow$ (下に凸)	$\frac{4}{5}$

各点における $f(x)$ の値は以下の通りである。

$$\begin{aligned} f(0) &= \frac{1}{5} \\ f\left(\frac{1}{9}\right) &= \frac{8}{5}\left(\frac{1}{3}\right)^5 - \left(\frac{1}{3}\right)^4 + \frac{1}{5} = \frac{8}{1215} - \frac{1}{81} + \frac{1}{5} = \frac{8 - 15 + 243}{1215} = \frac{236}{1215} \\ f\left(\frac{1}{4}\right) &= \frac{8}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^5 - \left(\frac{1}{2}\right)^4 + \frac{1}{5} = \frac{1}{20} - \frac{1}{16} + \frac{1}{5} = \frac{4 - 5 + 16}{80} = \frac{3}{16} \\ f(1) &= \frac{8}{5} - 1 + \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \end{aligned}$$

増減表より、極小値は $x = \frac{1}{4}$ のとき $\frac{3}{16}$ であり、極大値はない。

変曲点の座標は $\left(\frac{1}{9}, \frac{236}{1215}\right)$ である。

また、最大値は $x = 1$ のとき $\frac{4}{5}$、最小値は $x = \frac{1}{4}$ のとき $\frac{3}{16}$ である。

グラフは、点 $\left(0, \frac{1}{5}\right)$ から出発し、上に凸に減少しながら変曲点 $\left(\frac{1}{9}, \frac{236}{1215}\right)$ を通過し、その後は下に凸に減少し、極小点 $\left(\frac{1}{4}, \frac{3}{16}\right)$ を経て、点 $\left(1, \frac{4}{5}\right)$ まで下に凸に単調増加する概形となる（具体的な描画は省略する）。

(3)

(2) の増減表からわかるように、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において常に $f(x) \geqq \frac{3}{16} > 0$ である。

したがって、求める面積を $S$ とすると、$S$ は定積分を用いて次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_0^1 f(x) dx \\ &= \int_0^1 \left( \frac{8}{5} x^{\frac{5}{2}} - x^2 + \frac{1}{5} \right) dx \\ &= \left[ \frac{8}{5} \cdot \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x \right]_0^1 \\ &= \frac{16}{35} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \\ &= \frac{48 - 35 + 21}{105} \\ &= \frac{34}{105} \end{aligned}$$

解説

絶対値を含んだ関数の定積分の典型問題である。(1) で積分変数 $t$ に対して定数として扱われる $x$ がどこにあるのかを意識して積分区間を分けることが最大のポイントである。(2) 以降は計算量がやや多くなるため、分数や累乗の計算においてミスを防ぐ慎重さが求められる。面積の計算においては、積分区間で被積分関数が常に正であることを確認してから積分を実行するのが基本である。