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数学3 定積分・面積問題 239 解説

方針・初手

逆関数の定義と微分法、および定積分の部分積分を用いる問題である。誘導が丁寧につけられているため、それに従って計算を進める。特に最後の積分では、それまでに求めた結果と部分積分法を組み合わせることで、直接積分するのが難しい関数を回避する。

解法1

(1)

$y = f(x)$ は $y = \sin x$ $\left(0 \leqq x < \frac{\pi}{2}\right)$ の逆関数であるから、$x = \sin y$ であり、$f(x)$ の定義域は $y = \sin x$ の値域と一致する。 $0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ のとき $0 \leqq \sin x < 1$ であるから、$f(x)$ の定義域は $0 \leqq x < 1$ である。したがって、サ $= 0$、シ $= 1$ である。

次に、$x = \sin y$ の両辺を $x$ で微分すると、

$$1 = (\cos y) \cdot y'$$

となる。ここで、$y = f(x)$ であり $0 \leqq y < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\cos y > 0$ である。したがって、$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ となるため、

$$f'(x) = y' = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

となる。よって、ス $= \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ である。

与えられた不定積分を計算する。部分積分法を用いると、

$$\int f(x) dx = x f(x) - \int x f'(x) dx = x f(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$$

ここで、$- \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \sqrt{1 - x^2} + C$ （$C$ は積分定数）であるから、

$$\int f(x) dx = x f(x) + \sqrt{1 - x^2} + C$$

を得る。よって、セ $= \sqrt{1 - x^2}$ である。

(2)

$g(x) = \int_0^x f(t) dt$ について、(1) の結果を利用して定積分を計算する。

$$g(x) = \left[ t f(t) + \sqrt{1 - t^2} \right]_0^x$$

$$g(x) = x f(x) + \sqrt{1 - x^2} - (0 \cdot f(0) + \sqrt{1}) = x f(x) + \sqrt{1 - x^2} - 1$$

となる。よって、ソ $= \sqrt{1 - x^2} - 1$ である。

とくに $g\left(\frac{1}{2}\right)$ を求める。$f\left(\frac{1}{2}\right)$ は $\sin y = \frac{1}{2}$ を満たす $0 \leqq y < \frac{\pi}{2}$ の値であるから、$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ である。これを代入して、

$$g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} f\left(\frac{1}{2}\right) + \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} - 1$$

$$g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$$

となる。よって、タ $= \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$ である。

次に、定積分 $\int_0^{\frac{1}{2}} \left( \sqrt{1 - x^2} - 1 \right) dx$ を求める。 $\int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^2} dx$ は $x = \sin \theta$ と置換することで求められる。 $dx = \cos \theta d\theta$ であり、$x$ が $0$ から $\frac{1}{2}$ まで変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{6}$ まで変化する。

$$\int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 \theta d\theta$$

半角の公式より、

$$\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}$$

となる。また、$\int_0^{\frac{1}{2}} (-1) dx = -\frac{1}{2}$ であるから、

$$\int_0^{\frac{1}{2}} \left( \sqrt{1 - x^2} - 1 \right) dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2}$$

となる。よって、チ $= \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2}$ である。

最後に、これまでの結果と部分積分法を用いて $\int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx$ を求める。 $\int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx = \int_0^{\frac{1}{2}} (x)' g(x) dx$ とみて部分積分を行うと、

$$\int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx = \left[ x g(x) \right]_0^{\frac{1}{2}} - \int_0^{\frac{1}{2}} x g'(x) dx$$

ここで、$g(x) = \int_0^x f(t) dt$ より $g'(x) = f(x)$ であるから、

$$\int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx = \frac{1}{2} g\left(\frac{1}{2}\right) - \int_0^{\frac{1}{2}} x f(x) dx$$

となる。また、$g(x) = x f(x) + \sqrt{1 - x^2} - 1$ より、$x f(x) = g(x) - \left( \sqrt{1 - x^2} - 1 \right)$ である。これを代入すると、

$$\int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx = \frac{1}{2} g\left(\frac{1}{2}\right) - \int_0^{\frac{1}{2}} \left\{ g(x) - \left( \sqrt{1 - x^2} - 1 \right) \right\} dx$$

$$\int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx = \frac{1}{2} g\left(\frac{1}{2}\right) - \int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx + \int_0^{\frac{1}{2}} \left( \sqrt{1 - x^2} - 1 \right) dx$$

移項して整理すると、

$$2 \int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx = \frac{1}{2} g\left(\frac{1}{2}\right) + \int_0^{\frac{1}{2}} \left( \sqrt{1 - x^2} - 1 \right) dx$$

となる。ここで求めたタとチの値を代入する。

$$2 \int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) + \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2} \right)$$

$$2 \int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx = \frac{\pi}{24} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{2\pi}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2}$$

$$2 \int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx = \frac{\pi}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8} - 1$$

したがって、

$$\int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx = \frac{\pi}{16} + \frac{3\sqrt{3}}{16} - \frac{1}{2}$$

となる。よって、ツ $= \frac{\pi}{16} + \frac{3\sqrt{3}}{16} - \frac{1}{2}$ である。

解説

逆関数の微積分に関する標準的な問題である。逆関数そのものを具体的な式として表すことはできないが、$x$ と $y$ の関係式 $x = \sin y$ を用いることで導関数を求めることができる。積分についても、部分積分法を用いて元の関数の積分へと帰着させる手法は非常に有名である。最後の積分は直接計算しようとすると泥沼化しやすいため、問題文の「以上の結果と部分積分法を用いると」という誘導を正しく読み取り、方程式の形を作って $\int_0^{\frac{1}{2}} g(x) dx$ について解くという工夫が必要である。