数学3 定積分・面積 問題 240 解説

方針・初手

被積分関数が $x$ と三角関数の積の形であることから、部分積分法の利用を考える。とくに、$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ であることに着目すれば、積分計算は容易に実行できる。

解法1

求める定積分の値を $I$ とおく。

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$$

$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ であるから、部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} I &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} x (\tan x)' dx \\ &= \left[ x \tan x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} (x)' \tan x dx \\ &= \left( \frac{\pi}{4} \cdot \tan \frac{\pi}{4} - 0 \cdot \tan 0 \right) - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx \\ &= \frac{\pi}{4} \cdot 1 - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} dx \\ &= \frac{\pi}{4} + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx \\ &= \frac{\pi}{4} + \left[ \log |\cos x| \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \end{aligned}$$

ここで、$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ において $\cos x > 0$ であるため、絶対値記号はそのまま外すことができる。

$$\begin{aligned} I &= \frac{\pi}{4} + \left( \log \left( \cos \frac{\pi}{4} \right) - \log ( \cos 0 ) \right) \\ &= \frac{\pi}{4} + \left( \log \frac{1}{\sqrt{2}} - \log 1 \right) \\ &= \frac{\pi}{4} + \log 2^{-\frac{1}{2}} - 0 \\ &= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2 \end{aligned}$$

解説

多項式関数と三角関数の積の積分に関する非常に標準的な問題である。$\frac{1}{\cos^2 x}$ を見た瞬間に $\tan x$ の微分であることを思いつけるかどうかが初手の鍵となる。

また、$\tan x$ の積分が $-\log|\cos x| + C$ となることも、頻出の計算結果として自然に導出できるようにしておきたい。計算ミスに気を付ければ、確実に得点すべき問題である。

答え

$$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$$