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数学3 定積分・面積問題 254 解説

方針・初手

各小問において、2つの積分の被積分関数が互いに逆関数の関係にあることに気づくのがポイントである。 (1)は直接積分して計算することも可能だが、(2)の後半や(3)のように被積分関数の不定積分が初等関数で表せない場合は、部分積分を用いた置換積分、またはグラフの面積による図形的な解釈を利用して変形していく方針をとる。

解法1

(1) まず、$\int_0^1 e^{\sqrt{x}} dx$ を計算する。$\sqrt{x} = t$ とおくと $x = t^2$ であり、$dx = 2t dt$ となる。 $x$ と $t$ の対応は以下のようになる。 $x : 0 \to 1$ $t : 0 \to 1$

$$\int_0^1 e^{\sqrt{x}} dx = \int_0^1 e^t \cdot 2t dt = 2 \int_0^1 t e^t dt$$

部分積分法を用いて計算を進める。

$$\begin{aligned} 2 \int_0^1 t e^t dt &= 2 \left[ t e^t \right]_0^1 - 2 \int_0^1 1 \cdot e^t dt \\ &= 2(1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - 2 \left[ e^t \right]_0^1 \\ &= 2e - 2(e^1 - e^0) \\ &= 2e - 2(e - 1) \\ &= 2 \end{aligned}$$

次に、$\int_1^e (\log y)^2 dy$ を計算する。これも部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} \int_1^e (\log y)^2 dy &= \int_1^e 1 \cdot (\log y)^2 dy \\ &= \left[ y (\log y)^2 \right]_1^e - \int_1^e y \cdot \left\{ 2(\log y) \cdot \frac{1}{y} \right\} dy \\ &= \left( e \cdot 1^2 - 1 \cdot 0^2 \right) - 2 \int_1^e \log y dy \\ &= e - 2 \left[ y \log y - y \right]_1^e \\ &= e - 2 \{ (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) \} \\ &= e - 2(0 + 1) \\ &= e - 2 \end{aligned}$$

よって、求める値は

$$\int_0^1 e^{\sqrt{x}} dx + \int_1^e (\log y)^2 dy = 2 + (e - 2) = e$$

(2) まず、$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx$ を計算する。

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} dx = \left[ -\log|\cos x| \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = -\log\frac{1}{\sqrt{2}} + \log 1 = \frac{1}{2}\log 2$$

後半の積分 $\int_0^1 f^{-1}(y) dy$ について考える。 $y = f(x)$ と置換すると、$dy = f'(x) dx$ であり、$y$ と $x$ の対応は以下のようになる。 $y : 0 \to 1$ $x : 0 \to \frac{\pi}{4}$

これを用いて置換積分を行う。

$$\int_0^1 f^{-1}(y) dy = \int_0^{\frac{\pi}{4}} x f'(x) dx$$

部分積分法を用いて変形する。

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{4}} x f'(x) dx &= \left[ x f(x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 \cdot f(x) dx \\ &= \frac{\pi}{4} f\left(\frac{\pi}{4}\right) - 0 \cdot f(0) - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx \\ &= \frac{\pi}{4} \cdot 1 - 0 - \frac{1}{2}\log 2 \\ &= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\log 2 \end{aligned}$$

これが $\int_0^1 f^{-1}(y) dy$ の値である。また、二つの積分の和は

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx + \int_0^1 f^{-1}(y) dy = \frac{1}{2}\log 2 + \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\log 2 \right) = \frac{\pi}{4}$$

(3) $\int_1^e \sqrt{\log y} dy$ について考える。 $y = e^{x^2}$ と置換すると、$x \ge 0$ の範囲において $x = \sqrt{\log y}$ である。また、$dy = 2x e^{x^2} dx$ であり、$y$ と $x$ の対応は以下のようになる。 $y : 1 \to e$ $x : 0 \to 1$

これを用いて置換積分を行う。

$$\int_1^e \sqrt{\log y} dy = \int_0^1 x \cdot \left(2x e^{x^2}\right) dx$$

ここで、$2x e^{x^2} = (e^{x^2})'$ であることに着目し、部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} \int_0^1 x \cdot (e^{x^2})' dx &= \left[ x e^{x^2} \right]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^{x^2} dx \\ &= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - \int_0^1 e^{x^2} dx \\ &= e - \int_0^1 e^{x^2} dx \end{aligned}$$

したがって、求める値は

$$\int_0^1 e^{x^2} dx + \int_1^e \sqrt{\log y} dy = \int_0^1 e^{x^2} dx + \left( e - \int_0^1 e^{x^2} dx \right) = e$$

解法2

図形的な意味（面積）を考えて解くこともできる。ここでは(1)と(3)について別解を示す。

(1) $y = e^{\sqrt{x}}$ $(x \ge 0)$ は単調増加関数である。これを $x$ について解くと、$\log y = \sqrt{x}$ より $x = (\log y)^2$ となる。すなわち、$y = e^{\sqrt{x}}$ と $x = (\log y)^2$ は $xy$ 平面上において全く同じ曲線を表す。 $\int_0^1 e^{\sqrt{x}} dx$ はこの曲線と $x$ 軸、$y$ 軸、直線 $x=1$ で囲まれた領域の面積を表す。一方、$\int_1^e (\log y)^2 dy$ はこの曲線と $y$ 軸、直線 $y=1$、直線 $y=e$ で囲まれた領域の面積を表す。これらの和は、パズルのように組み合わせることで、頂点が $(0,0), (1,0), (1,e), (0,e)$ である長方形の面積から、頂点が $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ である長方形から曲線を除いた部分の空白をちょうど埋める形となる。したがって、全体の面積の和は、横幅 $1$、縦幅 $e$ の長方形の面積から、横幅 $0$、縦幅 $1$ の面積ゼロの領域を引いたものに等しい。

$$\int_0^1 e^{\sqrt{x}} dx + \int_1^e (\log y)^2 dy = 1 \cdot e - 0 \cdot 1 = e$$

(3) 同様に、$y = e^{x^2}$ $(x \ge 0)$ は単調増加関数であり、これを $x$ について解くと $x = \sqrt{\log y}$ となる。 $\int_0^1 e^{x^2} dx$ は曲線 $y = e^{x^2}$ と $x$ 軸、$y$ 軸、直線 $x=1$ で囲まれた領域の面積である。 $\int_1^e \sqrt{\log y} dy$ は同じ曲線と $y$ 軸、直線 $y=1, y=e$ で囲まれた領域の面積である。これらを足し合わせると、頂点が $(0,0), (1,0), (1,e), (0,e)$ である長方形の面積から、左下の $y \le 1$ の空白部分（幅は0なので面積は0）を除いたものになる。

$$\int_0^1 e^{x^2} dx + \int_1^e \sqrt{\log y} dy = 1 \cdot e - 0 \cdot 1 = e$$

解説

ある関数 $y=f(x)$ が単調増加で逆関数を持つとき、定積分 $\int_a^b f(x) dx$ と $\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y) dy$ の和は、グラフの面積をパズルのように組み合わせることで $b f(b) - a f(a)$ になるという有名な性質をテーマにした問題である。 (1)は直接計算でゴリ押しすることも可能に設定されているが、(3)の被積分関数 $e^{x^2}$ は不定積分を初等関数で表すことができないため、(1)の直接計算しか知らないと手詰まりになってしまう。そこで、(2)の「部分積分法を用いて一方の積分をもう一方の積分で表す」という変形操作が有効な誘導として生きる構成になっている。面積を用いた解法（解法2）は視覚的に分かりやすいが、論述式試験においては、解法1のように逆関数の置換積分と部分積分を組み合わせて数式的に導出する手順をマスターしておくと厳密で減点の隙を与えない。