数学3 定積分・面積 問題 255 解説

方針・初手

問題全体を通して定積分 $\int_0^1 x \sin^2(\pi x) dx$ が面積の計算に現れるため、まず最初にこの定積分の値を求めておく。 各問の面積 $S_n$ はこの定積分の定数倍として表されるため、数列 $\{a_n\}$ の漸化式を立てて一般項を求める問題に帰着できる。階差数列を用いて一般項を求める。

解法1

まず、定積分 $I = \int_0^1 x \sin^2(\pi x) dx$ の値を求める。 半角の公式 $\sin^2(\pi x) = \frac{1 - \cos(2\pi x)}{2}$ を用いると、

$$I = \frac{1}{2} \int_0^1 x \{1 - \cos(2\pi x)\} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x dx - \frac{1}{2} \int_0^1 x \cos(2\pi x) dx$$

第2項について部分積分を行うと、

$$\begin{aligned} \int_0^1 x \cos(2\pi x) dx &= \left[ x \cdot \frac{\sin(2\pi x)}{2\pi} \right]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot \frac{\sin(2\pi x)}{2\pi} dx \\ &= 0 - \left[ -\frac{\cos(2\pi x)}{4\pi^2} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{4\pi^2} (\cos 2\pi - \cos 0) \\ &= 0 \end{aligned}$$

となる。したがって、

$$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{4}$$

(1)

$0 \leqq x \leqq 1$ において、$1 \geqq \frac{2}{3}$ であるから $x \sin^2(\pi x) \geqq \frac{2}{3} x \sin^2(\pi x)$ が成り立つ。 したがって、曲線 $C$ と $C_0$ で囲まれた部分の面積 $S_0$ は、

$$S_0 = \int_0^1 \left( x \sin^2(\pi x) - \frac{2}{3} x \sin^2(\pi x) \right) dx = \left( 1 - \frac{2}{3} \right) I = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$

次に、$0 < a_1 < \frac{2}{3}$ より、$0 \leqq x \leqq 1$ において $\frac{2}{3} x \sin^2(\pi x) \geqq a_1 x \sin^2(\pi x)$ が成り立つ。 曲線 $C_0$ と $C_1$ で囲まれた部分の面積 $S_1$ は、

$$S_1 = \int_0^1 \left( \frac{2}{3} x \sin^2(\pi x) - a_1 x \sin^2(\pi x) \right) dx = \left( \frac{2}{3} - a_1 \right) I = \frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} - a_1 \right)$$

条件 $S_1 = \frac{1}{3} S_0$ より、

$$\frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} - a_1 \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{12}$$

これを解いて、

$$\frac{2}{3} - a_1 = \frac{1}{9}$$

$$a_1 = \frac{5}{9}$$

これは $0 < a_1 < \frac{2}{3}$ を満たす。

(2)

(1)と同様に、$a_n < a_{n-1}$ より、$0 \leqq x \leqq 1$ において $a_{n-1} x \sin^2(\pi x) \geqq a_n x \sin^2(\pi x)$ が成り立つ。 したがって、曲線 $C_{n-1}$ と $C_n$ で囲まれた部分の面積 $S_n$ は、

$$S_n = \int_0^1 (a_{n-1} - a_n) x \sin^2(\pi x) dx = (a_{n-1} - a_n) I = \frac{1}{4} (a_{n-1} - a_n)$$

条件より $S_n = \frac{1}{3} S_{n-1}$ であるから、数列 $\{ S_n \}$ は初項 $S_1$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。 (1)より $S_1 = \frac{1}{3} S_0 = \frac{1}{36}$ であるから、

$$S_n = \frac{1}{36} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} \right)^{n+1}$$

これより、

$$\frac{1}{4} (a_{n-1} - a_n) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} \right)^{n+1}$$

$$a_n - a_{n-1} = - \left( \frac{1}{3} \right)^{n+1}$$

数列 $\{ a_n \}$ の階差数列が求まったので、$n \geqq 2$ のとき、

$$\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( a_{k+1} - a_k \right) \\ &= \frac{5}{9} + \sum_{k=1}^{n-1} \left\{ - \left( \frac{1}{3} \right)^{k+2} \right\} \\ &= \frac{5}{9} - \frac{1}{27} \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}}{1 - \frac{1}{3}} \\ &= \frac{5}{9} - \frac{1}{18} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \right\} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^n \end{aligned}$$

これは $n=1$ のとき $a_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{18} = \frac{5}{9}$ となり成り立つ。 よって、求める一般項は $a_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^n$ である。

(3)

(2)で求めた一般項より、極限値 $a$ は、

$$a = \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^n \right\} = \frac{1}{2}$$

曲線 $y = \frac{1}{2} x \sin^2(\pi x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ について、$0 \leqq x \leqq 1$ において $y \geqq 0$ であるから、

$$S = \int_0^1 \frac{1}{2} x \sin^2(\pi x) dx = \frac{1}{2} I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$$

解説

半角の公式を利用した次数下げと部分積分法を用いて、ベースとなる定積分の値を計算する典型的な微積分の問題である。この定積分さえ正確に求まれば、面積は被積分関数の係数の差として簡単に表すことができる。また、(2)における等差数列や階差数列の処理も標準的であり、計算ミスを防ぐことが最も重要である。

答え

(1)

$a_1 = \frac{5}{9}$

(2)

$a_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^n$

(3)

$a = \frac{1}{2}$

$S = \frac{1}{8}$