トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 267

数学3 定積分・面積問題 267 解説

方針・初手

与えられた不等式 $y \{ y - \log(x+1) + a \} \leqq 0$ から、$y$ が表す領域を $x$ の関数として把握する。この不等式は、$y=0$ と $y = \log(x+1) - a$ に挟まれた領域を表す。面積 $S(a)$ は、$x$ の積分区間 $0 \leqq x \leqq e-1$ における $| \log(x+1) - a |$ の定積分として求められる。 $\log(x+1) - a$ の符号が変わる境界点 $x = e^a - 1$ が、積分区間 $0 \leqq x \leqq e-1$ に含まれるかどうかで場合分けを行う。

解法1

(1)

不等式 $y \{ y - \log(x+1) + a \} \leqq 0$ を満たす $y$ の範囲は、$y = 0$ と $y = \log(x+1) - a$ の間（境界を含む）である。したがって、この領域の面積 $S(a)$ は、次のように表される。

$$S(a) = \int_{0}^{e-1} | \log(x+1) - a | dx$$

ここで、$f(x) = \log(x+1) - a$ とおく。 $f(x)$ は単調増加関数であり、$f(x) = 0$ となるのは $\log(x+1) = a$ より $x = e^a - 1$ のときである。積分区間 $0 \leqq x \leqq e-1$ において、この境界点 $x = e^a - 1$ が区間内にあるかどうかで場合分けを行う。

(i) $0 \leqq e^a - 1 < e - 1$ すなわち $0 \leqq a < 1$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq e^a - 1$ では $f(x) \leqq 0$ であり、区間 $e^a - 1 \leqq x \leqq e - 1$ では $f(x) \geqq 0$ である。したがって、$S(a)$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_{0}^{e^a - 1} \{ a - \log(x+1) \} dx + \int_{e^a - 1}^{e - 1} \{ \log(x+1) - a \} dx \end{aligned}$$

ここで、不定積分 $\int \log(x+1) dx = (x+1)\log(x+1) - (x+1) + C$（$C$ は積分定数）を利用する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{e^a - 1} \log(x+1) dx &= \Big[ (x+1)\log(x+1) - (x+1) \Big]_{0}^{e^a - 1} \\ &= (e^a \cdot a - e^a) - (1 \cdot 0 - 1) \\ &= a e^a - e^a + 1 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{e^a - 1}^{e - 1} \log(x+1) dx &= \Big[ (x+1)\log(x+1) - (x+1) \Big]_{e^a - 1}^{e - 1} \\ &= (e \cdot 1 - e) - (a e^a - e^a) \\ &= -a e^a + e^a \end{aligned}$$

これらを $S(a)$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} S(a) &= a \Big[ x \Big]_{0}^{e^a - 1} - (a e^a - e^a + 1) + (-a e^a + e^a) - a \Big[ x \Big]_{e^a - 1}^{e - 1} \\ &= a(e^a - 1) - a e^a + e^a - 1 - a e^a + e^a - a(e - e^a) \\ &= a e^a - a - a e^a + e^a - 1 - a e^a + e^a - a e + a e^a \\ &= 2e^a - (e+1)a - 1 \end{aligned}$$

(ii) $e - 1 \leqq e^a - 1$ すなわち $a \geqq 1$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq e-1$ において常に $f(x) \leqq 0$ である。したがって、$S(a)$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_{0}^{e - 1} \{ a - \log(x+1) \} dx \\ &= a \Big[ x \Big]_{0}^{e - 1} - \Big[ (x+1)\log(x+1) - (x+1) \Big]_{0}^{e - 1} \\ &= a(e - 1) - \{ (e - e) - (-1) \} \\ &= (e - 1)a - 1 \end{aligned}$$

以上より、$S(a)$ が求まる。

(2)

(1) の結果から、$S(a)$ の増減を調べる。

(i) $0 \leqq a < 1$ のとき

$$S'(a) = 2e^a - (e+1)$$

$S'(a) = 0$ とすると、$2e^a = e+1$ より $a = \log \frac{e+1}{2}$ である。自然対数の底 $e$ は $e > 1$ であるから、$1 < \frac{e+1}{2} < e$ であり、したがって $0 < \log \frac{e+1}{2} < 1$ となるため、この解は $0 \leqq a < 1$ の範囲内にある。 $a = \log \frac{e+1}{2}$ の前後で $S'(a)$ の符号は負から正に変化するため、ここで $S(a)$ は極小かつ最小となる。

(ii) $a \geqq 1$ のとき

$$S'(a) = e - 1 > 0$$

したがって、$a \geqq 1$ の範囲で $S(a)$ は単調に増加する。

(i), (ii) より、$S(a)$ は $a \geqq 0$ において $a = \log \frac{e+1}{2}$ で最小値をとる。その最小値は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S\left(\log \frac{e+1}{2}\right) &= 2 e^{\log \frac{e+1}{2}} - (e+1) \log \frac{e+1}{2} - 1 \\ &= 2 \cdot \frac{e+1}{2} - (e+1) \log \frac{e+1}{2} - 1 \\ &= e + 1 - (e+1) \log \frac{e+1}{2} - 1 \\ &= e - (e+1) \log \frac{e+1}{2} \end{aligned}$$

解説

絶対値を含む定積分の典型問題である。関数 $y = \log(x+1) - a$ の符号が変わる境界点が $x = e^a - 1$ であることに着目し、これが積分区間 $0 \leqq x \leqq e-1$ に含まれるかどうかで場合分けを行うことがポイントである。 $\int \log(x+1) dx$ の積分は部分積分法を用い、$(x+1)\log(x+1) - (x+1)$ のようにひとまとめに処理すると、計算ミスを防ぎやすく見通しが良くなる。最小値を求める際、導関数から得られた極値をとる $a$ の値が、場合分けの条件を満たしているかを必ず確認すること。