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数学3 定積分・面積問題 266 解説

方針・初手

(1)は定積分における置換積分法と、積分区間の対称性を利用する典型的な証明問題である。被積分関数 $f(x-2)$ の変数を置換し、与えられた条件式 $f(x)+f(-x) \geqq 2f(0)$ を活用できる形へ変形する。 (2)は(1)の結果をうまく利用する。積分 $\int_1^3 \frac{1}{x} dx$ を(1)の左辺 $\int_1^3 f(x-2) dx$ の形と見立てて $f(x)$ を決定し、その関数が(1)の条件を満たすことを確認する。最後に定積分の性質と $e$ の定義を用いて不等式を導く。

解法1

(1)

与えられた定積分 $\int_{1}^{3} f(x-2) dx$ について、$t = x-2$ とおく。 $x$ と $t$ の対応は以下のようになる。 $x : 1 \to 3$ $t : -1 \to 1$

また、$dt = dx$ であるから、置換積分法により以下が成り立つ。

$$\int_{1}^{3} f(x-2) dx = \int_{-1}^{1} f(t) dt$$

右辺の積分区間を分割する。

$$\int_{-1}^{1} f(t) dt = \int_{-1}^{0} f(t) dt + \int_{0}^{1} f(t) dt$$

第1項 $\int_{-1}^{0} f(t) dt$ について、$u = -t$ とおくと、$du = -dt$ であり、積分区間は $t : -1 \to 0$ から $u : 1 \to 0$ へと変わる。

$$\int_{-1}^{0} f(t) dt = \int_{1}^{0} f(-u) (-du) = \int_{0}^{1} f(-u) du$$

積分変数を $t$ に書き直すと、

$$\int_{-1}^{0} f(t) dt = \int_{0}^{1} f(-t) dt$$

したがって、元の定積分は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \int_{1}^{3} f(x-2) dx &= \int_{0}^{1} f(-t) dt + \int_{0}^{1} f(t) dt \\ &= \int_{0}^{1} \{ f(t) + f(-t) \} dt \end{aligned}$$

ここで、問題の条件より $-1 \leqq t \leqq 1$ の範囲で $f(t) + f(-t) \geqq 2f(0)$ が成り立つ。当然、積分区間である $0 \leqq t \leqq 1$ においてもこの不等式は成り立つ。両辺を $0$ から $1$ まで定積分すると、

$$\int_{0}^{1} \{ f(t) + f(-t) \} dt \geqq \int_{0}^{1} 2f(0) dt$$

右辺を計算する。

$$\int_{0}^{1} 2f(0) dt = \left[ 2f(0)t \right]_{0}^{1} = 2f(0)$$

よって、次が示された。

$$\int_{1}^{3} f(x-2) dx \geqq 2f(0)$$

(2)

(1)の不等式において、$\int_{1}^{3} f(x-2) dx$ が $\int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx$ に一致するように $f(x)$ を定める。

$$f(x-2) = \frac{1}{x}$$

$t = x-2$ とおくと $x = t+2$ であるから、

$$f(t) = \frac{1}{t+2}$$

とする。この関数 $f(x) = \frac{1}{x+2}$ が(1)の条件を満たすか確認する。 $-1 \leqq x \leqq 1$ において、$x+2 > 0$ であるから $f(x)$ は連続関数である。また、

$$\begin{aligned} f(x) + f(-x) &= \frac{1}{x+2} + \frac{1}{-x+2} \\ &= \frac{(2-x) + (x+2)}{(2+x)(2-x)} \\ &= \frac{4}{4-x^2} \end{aligned}$$

ここで $-1 \leqq x \leqq 1$ より $0 \leqq x^2 \leqq 1$ であるから、分母は $3 \leqq 4-x^2 \leqq 4$ となる。したがって、$\frac{4}{4-x^2} \geqq \frac{4}{4} = 1$ が成り立つ。一方、

$$2f(0) = 2 \cdot \frac{1}{0+2} = 1$$

であるから、$-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲で $f(x) + f(-x) \geqq 2f(0)$ を満たしている。よって(1)の結果が適用でき、

$$\int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx \geqq 1$$

が成り立つ。ここで、$e$ の定義から $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = 1$ であるため、

$$\int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx \geqq \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$$

$$\int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx \geqq 0$$

$$\int_{e}^{3} \frac{1}{x} dx \geqq 0$$

$x > 0$ において被積分関数 $\frac{1}{x} > 0$ であるから、定積分の値が $0$ 以上になるためには、積分区間の下限が上限以下でなければならない。ゆえに、

$$e \leqq 3$$

が示された。

解説

本問は自然対数の底 $e$ が $3$ より小さいことを積分を用いて証明する有名なテーマである。(1)の抽象的な関数の不等式証明は、区間 $[-a, a]$ における積分の有名性質 $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} \{f(x) + f(-x)\} dx$ を背景としている。関数の偶奇性などに着目する際にもよく現れる変形である。 (2)では「(1)の結果をいかに利用するか」が問われている。求める式に含まれる積分 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = 1$ と、(1)の左辺 $\int_{1}^{3} f(x-2) dx$ の形を見比べ、積分区間 $[1, 3]$ を揃えるために被積分関数を同一視して $f(x)$ を設定する発想が鍵となる。関数が定まった後は、それが(1)の前提条件を満たしていることを忘れずに確認する必要がある。