数学3 定積分・面積 問題 272 解説

方針・初手

• (1) は、2倍角の公式を用いて $f(t)$ を $\sin t$ の関数に、$g'(t)$ を $\sin t$ の関数に統一し、それぞれの増減を調べて最大値を求める。
• (2) は、$f(t_1) = f(t_2)$ の条件から $\sin t_1$ と $\sin t_2$ の関係式を導出する。その後、$g(t)^2$ を $\sin t$ の関数として表し、差を取って符号を判定する。
• (3) は、(1)と(2)の結果を利用して曲線 $C$ の上下関係を把握する。面積を $x$ の積分として立式し、置換積分を用いて $t$ の定積分に変換して計算する。

解法1

(1)

$f(t) = 2\sin t + \cos 2t$ に対し、2倍角の公式 $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$ を用いると、

$$f(t) = -2\sin^2 t + 2\sin t + 1 = -2\left(\sin t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$$

$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ より $0 \leqq \sin t \leqq 1$ であるから、$\sin t = \frac{1}{2}$ すなわち $t = \frac{\pi}{6}$ のとき、$f(t)$ は最大値 $\frac{3}{2}$ をとる。

次に、$g(t) = 2\cos t + \sin 2t$ を微分する。

$$g'(t) = -2\sin t + 2\cos 2t = -2\sin t + 2(1 - 2\sin^2 t) = -2(2\sin^2 t + \sin t - 1) = -2(2\sin t - 1)(\sin t + 1)$$

$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin t + 1 > 0$ であるから、$g'(t) = 0$ となるのは $\sin t = \frac{1}{2}$ すなわち $t = \frac{\pi}{6}$ のときである。 $t$ の増減表は以下のようになる。

したがって、$g(t)$ は $t = \frac{\pi}{6}$ のとき最大となり、最大値は

$$g\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

をとる。

(2)

$f(t_1) = f(t_2)$ かつ $0 \leqq t_1 < t_2 \leqq \frac{\pi}{2}$ である。 (1)の変形より、

$$-2\left(\sin t_1 - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} = -2\left(\sin t_2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$$

$$\left(\sin t_1 - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\sin t_2 - \frac{1}{2}\right)^2$$

$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\sin t$ は単調増加であるため、$t_1 < t_2$ より $\sin t_1 < \sin t_2$ となる。 したがって、平方根を外すと

$$\sin t_1 - \frac{1}{2} = -\left(\sin t_2 - \frac{1}{2}\right)$$

$$\sin t_1 + \sin t_2 = 1$$

が成り立つ。これと $0 \leqq \sin t_1 < \sin t_2 \leqq 1$ から、$0 \leqq \sin t_1 < \frac{1}{2} < \sin t_2 \leqq 1$ である。

ここで $X = \sin t$ とおくと、$\cos t \geqq 0$ より $\cos t = \sqrt{1 - X^2}$ と表せる。 $g(t) = 2\cos t(1 + \sin t)$ より、

$$g(t)^2 = 4\cos^2 t(1 + \sin t)^2 = 4(1 - X^2)(1 + X)^2 = 4(1 - X)(1 + X)^3$$

関数 $G(X) = 4(1 - X)(1 + X)^3$ を定義し、$X_1 = \sin t_1, X_2 = \sin t_2$ とおくと、示すべき不等式は $G(X_1) - G(X_2) > 0$ である。 $X_2 = 1 - X_1$ を代入して差を計算する。

$$\begin{aligned} G(X_1) - G(X_2) &= 4(1 - X_1)(1 + X_1)^3 - 4(1 - (1 - X_1))(1 + (1 - X_1))^3 \\ &= 4(1 - X_1)(1 + 3X_1 + 3X_1^2 + X_1^3) - 4X_1(2 - X_1)^3 \\ &= 4(1 + 2X_1 - 2X_1^3 - X_1^4) - 4X_1(8 - 12X_1 + 6X_1^2 - X_1^3) \\ &= 4(1 + 2X_1 - 2X_1^3 - X_1^4) - 4(8X_1 - 12X_1^2 + 6X_1^3 - X_1^4) \\ &= 4(1 - 6X_1 + 12X_1^2 - 8X_1^3) \\ &= 4(1 - 2X_1)^3 \end{aligned}$$

$0 \leqq X_1 < \frac{1}{2}$ より $1 - 2X_1 > 0$ であるから、$4(1 - 2X_1)^3 > 0$ となる。 ゆえに $g(t_1)^2 - g(t_2)^2 > 0$ が示された。

(3)

直線 $x=1$ すなわち $f(t) = 1$ を解くと、

$$2\sin t + 1 - 2\sin^2 t = 1 \iff 2\sin t(1 - \sin t) = 0$$

$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ より、$\sin t = 0, 1$ すなわち $t = 0, \frac{\pi}{2}$ である。 $x = f(t)$ の増減は、(1)より $t = \frac{\pi}{6}$ で極大値 $\frac{3}{2}$ をとる。 よって $1 \leqq x < \frac{3}{2}$ の各 $x$ に対し、対応する $t$ は $0 \leqq t < \frac{\pi}{6}$ の範囲に1つ、$\frac{\pi}{6} < t \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲に1つ存在する。これらをそれぞれ $t_1, t_2$ とすると、(2)の結果から $g(t_1)^2 > g(t_2)^2$ が成り立つ。 $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ において $g(t) \geqq 0$ であるから、$g(t_1) > g(t_2)$ となる。 したがって、曲線 $C$ は $t$ が $0 \to \frac{\pi}{6}$ の部分が上側、$t$ が $\frac{\pi}{6} \to \frac{\pi}{2}$ の部分が下側となる。 求める面積 $S$ は、

$$\begin{aligned} S &= \int_{1}^{\frac{3}{2}} y_{\text{upper}} dx - \int_{1}^{\frac{3}{2}} y_{\text{lower}} dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} g(t) f'(t) dt - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} g(t) f'(t) dt \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} g(t) f'(t) dt + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} g(t) f'(t) dt \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(t) f'(t) dt \end{aligned}$$

ここで被積分関数を整理する。

$$\begin{aligned} g(t) f'(t) &= 2\cos t(1 + \sin t) \cdot 2\cos t(1 - 2\sin t) \\ &= 4\cos^2 t (1 - \sin t - 2\sin^2 t) \\ &= 4\cos^2 t - 4\sin t \cos^2 t - 8\sin^2 t \cos^2 t \end{aligned}$$

それぞれの項を $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで積分する。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^2 t dt = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = 2 \left[ t + \frac{1}{2}\sin 2t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \pi$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\sin t \cos^2 t dt = 4 \left[ -\frac{1}{3}\cos^3 t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{4}{3}$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 8\sin^2 t \cos^2 t dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin t \cos t)^2 dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2t dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 4t) dt = \left[ t - \frac{1}{4}\sin 4t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$$

これらを代入して面積 $S$ を求める。

$$S = \pi - \frac{4}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3}$$

解説

媒介変数表示された曲線の追跡と面積計算の典型問題である。 (1)では2倍角の公式を用いて変数を統一することが基本となる。 (2)の証明は、$\sin t_1$ と $\sin t_2$ の和が一定であることに気づけるかが鍵となる。関数として差を計算した後に因数分解できるため、計算量はそこまで膨らまない。 (3)の面積計算では、(2)の誘導により曲線の上下関係が決定される。置換積分を行う際、積分区間の方向によって符号が自動的に調整され、最終的に $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(t)f'(t) dt$ と1つの定積分にまとまるのが美しい。

答え

(1)

$f(t)$ の最大値: $\frac{3}{2}$

$g(t)$ の最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2)

証明は解法を参照。

(3)

$S = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3}$